1 92 1. No. 17, VERTEILUNGEN GANZZAHLIGER LÖSUNGEN GEWISSER GLEICHUNGEN. 53 



worin die Koeffizienten (in+i , C'a^2 ■ • ■ nicht alle gleich Null sein sollen. 

 (Vergl. Satz 9). 



Es ist dann leicht zu sehen, dafà man eine so grofae positive Zahl X 

 angeben kann, dafs mindestens einer der Funktionswerte f{x-{-r,), wobei 

 Tq -^= 0, <C r^ <^ )2 <C • • • <C '■« wie früher, nicht eine ganze Zahl sein 

 kann, wenn x ^ A' ist. 



Ist nämlich die Konstante B (Seite 12 unten) eine ganze rationale 

 Zahl und A = Max (,J, Jj, . . ., At?), so braucht man nur X so grofs zu 

 wählen, dafa X^ru und aufaerdem die Summe 



^•J. 



«n+2 



r+n ' {x^Yif 



ZA,f{x^r,)-B 



nie mehr Null für endliches .r, wenn \x ^ X ist (dies muß ja möglich 

 sein, weil ein identisches \'erschwinden dieser Summe nach Satz <i bewir- 

 ken würde, dafa die Koeffizienten ^^n + i , "n+2 , • • • alle Null sein müfeten), 

 und 



1 



^n+l 



'n + 2 



X-ru^[X-yuf^ («+l)-4 



wird, was offenbar stets möglich ist, da die Reihe 



^n+l ■ '^■^n-L2 I 



für hinreichend grofee x konvergent sein soll. Hierdurch wird nämlich für 

 alle X, für welche \x' ^ A' ist, und für jedes i 



flfn+2 , 



x-\-ri (.r + n)" 



^n+2 



< 





+ 



^ + 



^ A — 7> 



(1^1 -n) 

 und folglich wird (Seite 12 unten) 



+ 



'^11+2 



{x-^r,f 



ön+2 I 



(A-.>)^ 



H- 



< 



rtn + l 



< 



\X\ — Vi 

 1 



{n+\\A ' 



4- 







2:A,f{.r + r,)~B <l 



so dafa 2' .4,/'(.r -)- r,) nicht ganz ist. Da jede Zahl .1, ganz ist, folgt 

 hieraus, dafa mindestens eine der Zahlen f {x -j- )\) nicht ganz ist. 



Ist dagegen B nicht ganz, so sei sie zuerst reel und B = Bi -\- h, wo 



/>i die nächste ganze rationale Zahl bedeutet, so dafa \h\^— ist. Dann 



braucht man nur A so grofa zu wählen, dafa A' ^ Vu und 



