54 TH. SKOLEM. M.-N. Kl. 



I (/n + 1 I I ^/n + 2 I , ^ \ll\ 



wird. Dann bekommt man nämlich, wenn \x ^X ist 



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V J ( lll'+L _L ^'" - _L 1 



^\2:AJ{x-\-r,) B,[^\Ij\-\- 



+ ^-J.' 





was wieder das gewünsclite Ergebnis gibt. 



Es sei zuletzt /> komplex = IJi -\- ß., y-ï. Dann braucht man nur A' 

 so grofa zu wählen, daß 



A > r// , und , , ^- 4- -Vt + •••<, 



A'— r„ (A— ;>r-^ (,«+l)i 



wird. Dadurch kann nämlich die Summe /> -f ^ .1, (—^— y -(-•■• 1 offenbar 



nicht reel werden und also auch keine ganze rationale Zahl, was «wieder 

 dasselbe Ergebnis wie oben gibt. 



Bedeutet f{r) die im Satze 10 erwähnte Reihe, während doch hier die 

 Koeffizienten r^p^.i , (ip + 2 , ■ ■ ■ nicht alle Null sein sollen, kann man in ähn- 

 licher Weise eine so große positive Zahl X angeben, dafs mindestens 

 einer der Werte /'(r-j- )■,] [i ^^ 0, ],..., u\ Tq —^ 0) nicht ganz sein kann, 

 wenn [xj^A'. Man hat ja nur A' so grofs zu wählen, dafa die Reihen 

 fo{^),---, '/'/'(■''■), t/'i (-^'li ■ • •» <i[" [^) (Seite 14 unten) alle hinreichend klein 

 werden, wenn |a"|^ A' ist. Ich glaube nicht, dafs es nötig sein kann dies 

 näher auszuführen. 



Ebenso kann man X so groß positiv annehmen, daß wenn ./'I^A', 

 für mindestens einen der Werte œ, x -\- i'i, . . ., r -{- Vu von x keine Wurzel 

 y einer Gleichung der im Satze 11 betrachteten Form ganz rational sein 

 kann, falls nicht eine ganze rationale Funktion von ./■ die Gleichung iden- 

 tisch befriedigt. Ich will dies etwas näher zeigen. 



Die betrachtete Gleichung sei f{x, y] — 0. Die Zweige von y als 

 Funktionen von x seien f\{x)... /n (•''); si^ können wie früher gezeigt für 

 hinreichend grofae x konsekvent unterschieden werden. Weiter sei ti eine 

 ganze positive Zahl, )\, - - 0, <i >\ <C ^'2 <^ ' ' ' "^ '^'." > ^'id alle r ganz 

 rational. Gibt man ?o, ii, . . ., iu beliebige (gleiche oder verschiedene) Werte 

 unter den Zahlen 1,2,.. ., v, bekommt man »"+^ verschiedene Werts}^- 

 steme. Für jedes dieser ))'' + ''■ WertS3'steme besitzen die Funktionen 

 /',^(./" + yt){t^=0, 1, . . .,/<) Reihenentwicklungen nach fallenden (gebrochenen) 



