I92I. N0.I7. VERTEILU>ÎGEN GANZZAHLIGER LÖSUNGEN GEWISSER GLEICHUNGEN. 55 



Potenzen von x. Mann kann u so grofs wählen, dafa in jedem der ),"+^ 

 Gleichungssysteme (nämh'ch Reihenentwicklungen) die Potenzen von ./• mit 

 positiven Exponenten eliminiert werden können (Vergl. Seite 15). Man 

 erhält durch diese Eliminationen /.''^^ Gleichungen der Form (Vergl Seite 1.5) 



t=i 



(o=l,2,..., :"+^), 



worin (jr^^ [x), . . ., (f„ {x), ip^ [x), . . . j/;;f (j?! ähnliche Reihen sind wie die 

 Reihen rp und t/^ Seite 14 unten. In jeder dieser Gleichungen kann man 

 ein so grofses positives Xo wählen, dafs JE A^^'^ f,^{x -\- r,) nie mehr ganz 

 sein kann, wenn ./■ , > A'o ist. Setzt man A' ^ Max (A'i, . . ., A'^y/ ^ i ), 

 wird also in allen )r Gleichungen 2" .4^- ''/',- (x -f- rt) nicht ganz, wenn 

 .'■ > A' ist. Hieraus folgt aber, dafa für mindestens ein / (/ = 0, 1 , . . ., u) 

 alle Funktionen f\ {x -{- )\), . . ., f\^[r + ;>) nicht ganze Zahlen sind. 



Ahnliche Bemerkungen können zu den folgenden Sätzen gemacht 

 werden. Betrachtet man z. B. das Gleichungss3'stem des Satzes 16', so 

 hat man: Falls nicht }i Polynome l\[.i)... Fn{x) existieren, welche statt 

 !/i . . . iJn eingesetzt den Gleichungen identisch genügen, so gibt es, wenn 

 ./■ ^ ein gewisses X ist, unter den Zahlen x, x -\- rj, . . ., x -{- Vu , wenn 

 n hinreichend grofa ist und }\, . . ., Vu eine beliebige Reihe wachsender 

 ganzer rationaler Zahlen, mindestens eine, für welche die Gleichungen in 

 bezug auf die // nicht ganzzahlig auflösbar sind. 



Man kan auch so sagen: Teilt man die Zahlenreihe in Intervalle einer 

 hinreichend grofaen Länge /, so kann man in jedem Intervall Zahlen x, 

 auch ganze rationale, wirklich angeben, für welche die gegebenen Glei- 

 chungen kein ganzzahliges Wurzelsystem //^ . . . _?/n besitzen. 



Betrachtet man den Satz 21, so kann man in analoger Weise Zahlen 

 X angeben, auch ganze rationale, für welche /'"(x, //) eine irreduktible Funk- 

 tion von // in R wird, wenn F{x,ij) in L irreduktibel ist. Es ist auch 

 leicht zu sehen, daß die Zalilen x in li, für welche F[x,y] irreduldibel 

 in R ist, überall dicJit im Körper R liegen. Es sei nämlich der Körper 

 II vom Grade g in einem /y-dimensionalen Räume abgebildet; d. h. die 

 Punkte dieses Raumes mit rationalen Koordinaten stellen dann die sämt- 

 lichen Zahlen des Körpers it dar. Es seien nun a und h zwei beliebige 

 Zahlen des Körpers R. Macht man jetzt die Transformation 



, h ^- a 

 X ^= a-\ ; — , 



X\ 



