TH. SKOLEM. M.-N. Kl. 



SO sieht man, daù so oft ./'i cine absolut rationale Zahl zwischen 1 und -|- '^ 

 ist, ist ./■ eine Zahl in // auf der Verbindungsstrecke zwischen den Punkten 

 a und /', und umgekehrt. Durch diese Transformation geht Fi.r.ij} in 

 eine Funktion I'\ {■''],!/) über. Allerdings ist F^ {,/\, y) in bezug auf ./"i ge- 

 brochen, aber man kann mit einer solchen ganzen Funktion von j'i allein 

 multiplizieren, daù das Produkt eine primitive durchaus ganze Funktion 

 ^' {■''{>!/) wird, welche natürlich auch in A irreduktibel sein mufi. Dann 

 kann man aber in ebenso ausgedehntem Mafee wie früher ganze Werte 

 von .i'i angeben, für welche ('{Xi,ij) und also auch i\{''\,, Ij) in 11 irre- 

 duktibel wird. Dies bedeutet, daß man auf der Verbindungsstrecke zwischen 

 den Punkten (i und h unendlich viele Zahlen ./' in H finden kann, für welche 

 F{.r,!l) irreduktibel in li ist. 



Weiter mufs folgender Satz gültig sein: 



Satz 21'. Es sei die Fanktioii F{x,y) 



F {.'■,!j)=Ao !/'-}- -li/y"" + --- + --ln, 



icorin Jq' • • m ^n Fo^ijnouie sind, deren Koeffizienten einem Körper R 

 {Satz '^1) caiyeliöroi, das Prodiüä einer (jewisxen Zd/d irreduktibler 

 Faktoren 



F{.r,y)=-F,(x,!jr-.-Fr{.r,yr- 



im Körijer L {Satz :^1). Höclistens ausgenommen eine Klasse ganzer 

 rationaler Zahlen mit nur versclnvindender Dichte muß für jede ganze 

 rationale Zahl .r die Funktion F{x,y) im Körjier R genau in derselben 

 Weise aus irreduktiblen Faktoren zusammengesetzt sein, d. h. die Funk- 

 tionen Fl {x, y), . . ., Fv{x, y) bleiben auch, in R irreduktibel, und außer- 

 dem bleiben de von einander verschieden. 



Beweis: Nach Satz 21 kann die Klasse A'r ('' = 1, 2, , . ., j^) ganzer 

 rationaler Zahlen ./•, für welche F^ (x, y) reduktibel in R wird, nur die 

 Dichte Null haben. Nach Satz 1 hat also die Klasse K aller ganzer ratio- 

 naler X, für welche mindestens eine der Funktionen Fi{.r, y), . . ., Fr{x,y) 

 reduktibel in A' ist, die Dichte Null. — Soll für ein x eine Gleichung 

 der Form 



Fr{.r,y) = F,{x,y)\^rZs; ^^^^^^J 



identisch in y stattfinden, so bekommt man hieraus, da dies jedenfalls keine 

 Identität sowohl in x als y ist, gewisse Gleichungen in x allein, welche 

 keine Identitäten sind. Also erhält man blofe endlich viele Werte von x, 

 für welche irgend eine Gleichung der Form Fr {x, y) = Fg {x, y) identisch 

 in y gültig sein kann. 



