I92I. No. 17- VERTEILUNGEN GANZZAHLIGER LÖSUNGEN GEWISSER GLEICHUNGEN. 57 



Mit Hilfe einer Transformation der Form .r = a -\ wird man 



natürlich wieder beweisen können, dafs die Zahlen in i?, für welche eben 

 die erwähnte Art der Reduktibilität stattfindet, überall dicht in Ix liegen. 

 Auf dieser Grundlage kann man entsprechende gruppentheoretische 

 Sätze aufstellen/ so z.B. den folgenden Satz: 



Es habe die Gleichung 



fi.r,ll) = 0, 



ÎVO f(.i\i/) ein Polynom mit Koeffizienten in einem algebraischen Zahl- 

 körper R ist, in dem Körper L aller rationaler Funktionen von x mit 

 Koeffizienten in R eine Grupjpe G. Dann hat für jede ganze rationale 

 Zahl j-, höchstens ausgenommen eine Klasse mit Dichte Xull, die Glei- 

 chung dieselbe Gruppe G in Körper R. 



Beweis: Man bilde eine Galoische Resolvente R {x, z) der Gleichung 

 für den Körper L. Man kann z. B. z^ = n^ y-^ -\- Uo g-2 -^ ■ • • -\- u^ //n setzen 

 und Ui . . . ^<u als ganze rationale Zahlen so wählen, daf? die ii ! Ausdrücke, 

 welche durch alle möglichen Umstellungen der n Variablen g erhalten 

 werden, alle innerhalb L verschieden sind, d. h. keine zwei identisch gleich 

 in bezug auf ./'. Bezeichnen sj . . .;„; diese // ! Ausdrücke, so sind sie die 

 Wurzeln einer Gleichung H {.r, z\ = 0, und 7i* (,/■, 2') = ist eine Galoische 

 Resolvente, wenn R {.r, z) ein irreduktibler Faktor von H{.r.2) ist. 



Die Funktion H(:r, z) zerfällt also in das Produkt einer gewissen Zahl 

 irreduktibler Faktoren in L, und einem beliebigen dieser Faktoren ent- 

 spricht in bekannter Weise die Gruppe G. Nach dem Satze 21' bleibt 

 aber die Art der Zusammensetzung von H {x, z) aus irreduktiblen Faktoren 

 genau dieselbe in R für jede ganze rationale Zahl x, wenn eventuell eine 

 gewisse Menge solcher Zahlen der Dichte Null ausgenommen wird. Dies 

 bedeutet aber, dafe mit der erwähnten Ausnahme die Gruppe der Gleichung 

 dieselbe bleibt. 



Natürlich wird man auch hier beweisen können, dafs die Zahlen in R, 

 für welche die Gruppe der Gleichung eben G ist. überall dicht in R liegen-. 



Mehrere interessante Bemerkungen liefaen sich für den Fall einer 

 größeren Zahl von Variabein aufstellen; ich will aber hier nicht näher 

 darauf eingehen. 



1 Vergl. HiLBERT 1. c, 



- Vergl. auch H. Weber, Lehrbuch der Algebra, Kl. Ausg., Braunschweig 

 1912, § 83. 



