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Les forces étant égales et \( rticalcs, il n'y a pas d'équilibre, et 1<: théorème 

 ne s'a])|)li(|iic |)as. ( )i le lli(oi(iiic est vrai, aijplifjiK- s('paréin«nt à chacun 

 des deux points. 



l'ar un raisonne ment 'lircct on (jourra lacilciiicnt se rendre compte de 

 ce résultat. La condition de respecter le théorème des forces vives, 



porte sur l'ensemble des accélérations. Nous supposons a priori que les 

 accélérations soient verticales, ce champ de variation limité étant suffisant 

 pour le raisonnuninl (|ui \a suivre. D'après Ostwald il faut choisir a^ et 



a.^ telles (pie la "transnus sion d'énergie" 



— ^111 {v + cnf — ^iiw^ m Iv'i (1^ -(- 7'._> a.,) t ^ — m \n^~ + «.,2» 

 soit la plus grande possible. ICn faisant les calculs, on ti'ouve: 



ï\^ + 



Pour v■^^ = 7'2 on a 



«1 = ^2= g 



Or dans ce cas notre liaison hypothétique établit l'équilibre, et le théorème 

 est bien vrai. 



Noie. Les hypothèses dans lesquelles novis nous sommes placés dans le cas ou les 

 vitesses ne sont pas toutes nulles (des forces constantes et des équations de liaisons à coef- 

 licients constants) sont des h3'pothcses suffisantes. Leur nécessité n'a pas été démontrée, et la 

 question se pose si elles peuvent être remplacées par des conditions plus larges. 



Remarquons d'abord que la condition initiale 



(42') ç \mi .vi'J = Xi 4- —j Åj ajl , 



dont nous avons fait voir le caractère très artificiel, est nécessaire, et qu'elle est aussi suffi- 

 sante pour que le théorème soit vra.\ pendant un intervalle infinement petit. (AT,' non toutes = 0! I 



Pour que le théorème ostvvaldien s'applique pendant tout le mouvement, il faut donc 

 qu'une équation analogue à (42') ait lieu à chaque instant, ce qui est obtenu par les condi- 

 tions que les forces et les aji sont des constants. Ces conditions portent sur les forces don-, 

 nées et le caractère cinématique du sj'stème séparément, et il est donc a priori très probable 

 qu'on peut y substituer d'autres, moins étroites mais plus compliquées, qui portent sur l'en- 

 semble des forces données et des liaisons de manière a faire dépendre les forces données 

 de ces dernières. 



M. Cartan m'a indiqué à cet égard une rédaction fort élégante. Le théorème ost- 

 vvaldien est vrai pour des systèmes holonomes et à liaisons indépendantes du temps, lorsque: 



1^ il y a une fonction de forces, et 



2" lorsque les lignes de forces sont des géodsiques avec la condition supplémentaire 

 que le déplacement correspondant au vitesses initiales se fait dans le sens d'une ligne de 

 force. 



