§ 1. 



Herr Boris Delauxay in Kiev hat ohne Beweis den folgenden Satz 

 mitgeteilt: ' 



Die unbestimmte Gleichung 



-x^ + Dy^ = 1 

 ist nur dann möglich in ganzen Zahlen x, v (mit y 4^ Ol, wenn die Funda- 



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mentaleinheit im kubischen Körper K{] D) von der Form r -r a) D ist, und 

 dann mit der einzigen Lösung x = c, y = a. 



Es soll hier ein Beweis des folgenden spezielleren Satzes gegeben 

 werden : 



Satz I. 

 Es seien f und g zicei beliebige ganze positive quadratfreie und feiler- 



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fremde Zahlen, fg> \. Es sei ferner D = fg^, D = f-g, S = \'\'d\ und 



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d = \y D\. Ist dann die Fuiuianientaleinheit- im kubischen Zahlkörper K(B) 

 von der Form )] ^ ad + c, mit ganzen rationalen a und e, so hat die un- 

 bestimmte Gleichung 



A-3 + D\^ = 1 (1) 



die einzige Lösung x = c, y = a in ganzen Zahlen x, y (mit y ^ 0). Ist 

 die Fundamentaleinheit von der Form >] = aß + c, mit ganzen rationakn a 

 u)id c, so ist die Gleichung unmöglich. 



' Comptes rendus, tome 162 (19161, p. 150— 151. 



2 Mit Fundamentaleinheit meinen wir hier wie überall im folgenden die zwischen und 1 

 belegene Einheit von den \àer Möglichkeiten. Eine positive Einheit von der Form 

 rj = c -f^ a& '\st immer < 1. Wegen N i}}) = (ß -^ a^ D = 1 haben nämlich a und c ent- 

 gegengesetztes Vorzeichen. Also ist 1 = c2 _ „^0 -f «2 ©2 > 1, weil nc ne-ativ ist. 



