1922. No. 14. VOLLST. LÖSUNG ELMGER UNBEST. GLEICHUNGEN DRITTEN GRADES. 5 



3^ -r 1 und 3k -^ 2 autgehen I. Die rechte Seite von (4) ist also durch </ 

 teilbar und folglich auch c" ^ ~. Da a und c teilerfremd sind, ist aber dies 

 unmöglich. Folglich mufa a = ± 1 sein. 



Es sei nun D durch die Primzahlpotenz </" teilbar, (a kann hier nur 

 einen der Werte 1 oder 2 haben.) Wenn </" > 2 ist, folgt dann wegen 

 ^« ^ ^ 3* > 34- + 2 für alle k'^2, daß der Zähler des Bruches (5) durch 

 eine höhere Potenz von q als der Nenner teilbar ist. Dies gilt auch für 

 ^ = 1 , falls </" von 2 und 5 verschieden ist. In diesem Falle wäre also 

 die rechte Seite von (4) durch </ teilbar, was unmöglich ist. da c und D 

 teilerfremd sind. Folglich mufs (/" = 2 oder = 5, d. h. für D bestehen nur 

 die Möglichkeiten D — 2, — 5 oder = 10. 



Die Gleichung 131 kann für // = Imod. 3) so geschrieben werden 



ik j 3k ^ \ 



für ;/ ^ 1 Imod. 31 



» 4 



-a"^D ' ^-1j[ 3k ) {3k ^ \){3k + 2) 



k 



und für // z= 2 (mod. 31 



D 



k^\ 



II 2 



1 



Aus diesen Gleichungen schliefst man genau wie früher, dafa c durch 

 keine Primzahl teilbar sein kann ; also ist r = + 1 . (Nämlich gleich — a, 

 weil ^7 und c entgegengesetztes \'orzeichen haben. I Die Gleichung (4) läfet 

 sich mithin so schreiben 



Ol —2\2D ill —2\2D- 



0. (61 



3 /4-5 \ 6 y 7 • 8 

 Hier hat D einen der Werte 2, 5 oder 10. Für /J> -= 10 erhalten wir 



Diese Gleichung ist unmöglich für n = 2, 3. 4. Für // -'- 5 ist sie 

 erfüllt, was der Lösung unserer Aufgabe 



3 3 



(VlO -- l)^ = - 45 • UO ^ 99 



