1922. No. I 4. VOLLST. LÖSUNG EINIGER UNBEST. GLEICHUNGEN DRITTEN GRADES. 7 



Um den zweiten Teil zu beweisen setzen wir also 

 (';)."-•. -^('^)r" -a^D^(':.)c" ■'a'D^^ 0. .91 



Man bemerkt zunächst, dafs a und c entgegengesetztes \'orzeichen haben 

 müssen. Durch Division mit { \ ■ a ergibt sich 



n — \\ c" - "^ a^ D v-i /// — 1 \ r' ^^ ' n^'' D 



i^-S 



3 / 4 ^\ 2>k j 3X' - 1 



k^2 



101 



Es sei nun a durch die Primzahl q teilbar. Wegen q3k'^2^^ p- 3k -f- 1 

 für alle k^ \, ist dann der Zähler des Bruches 



" " IUI 



3k / 3k 



für alle k ^ 1 durch eine höhere Potenz von ç als der Nenner teilbar. Die 

 rechte Seite von (101 ist also durch (/ teilbar und folglich auch c" " K Dies 

 ist aber unmöglich, da a und c teilerfremd sind. Folglich mufi rz = ± 1 sein. 



Es sei nun D durch die ungerade Primzahl ç teilbar. Dann tolgt 

 ^^3*>3/^ + 1 für alle k'^2, dafe der Zähler des Bruches (11) durch 

 eine höhere Potenz von q als der Nenner teilbar ist. Die rechte Seite von 

 (10) wäre somit durch q teilbar, was unmöglich ist, da c und D teilerfremd 

 sind. Für D bestehen mithin nur die Möglichkeiten D = 2 oder D = 4. 



Die Gleichung (9) kann für « = (mod. 3) so geschrieben werden 



für II = 1 (mod. 3) 



2j(^ 3k j {3k -t- l)(3/(' - 21 



-""-'^"^"-sù)^""" 



- 3'i \ £) 3 

 ,3kJ 

 k>l 



k 



und für // z= 2 (mod. 3) 



-'^^ - k 



— a"'-D ' - 2 



3k ) 3:- - I 



Aus diesen Gleichungen schliefet man genau wie früher, daf3 c durch 

 keine Primzahl teilbar sein kann ; also ist c = + 1 . 



