1922. No. 14. VOLLST. LÖSUNG EINIGER UNBEST. GLEI€HUNGEN DRITTEN GRADES. 9 



mit rationalen I nicht notwendig ganzen) Zahlen ^-/, />, C, die Zahl /> \er- 

 schwindet. Ist nun // ^^ aO + c, wie im ersten Teil des Satzes I voraus- 

 gesetzt wird, und /i > 1 , so folgt aus dem ersten Teil des Satzes II, 

 dal3 B immer von Null \erschicden ist. (Wegen c^ + /)a^ -- 1 müssen c 

 und a/) teilerfremd sein.) Ist // negati\- und gleich ///, so wird mit 



2.t/ 4.t/ 



e^ = e~e und öo '^ (^ (^■ 



rj-'" = (a Ö, + c)'" {a 0., + c)'" = ia^ gl) — ac d + c^)'" = A6 + ß6 -t C, 



mit rationalen Koeffizienten A, B, C, die sämtlich positi\' sind ; denn wegen 

 c^ + Da^ ~ 1 haben a und c entgegengesetztes Vorzeichen. Also ist in (13) 

 B =- nur für n -= 0, 1 . 



P'ür den Fall ij a -\- c folgt dasselbe durch Anwendung vom zweiten 

 Teil des Satzes II. 



Der Satz I ist damit bewiesen. 



Beispiele: Man berechnet leicht die folgenden Fundamentaleinheiten i/. Im 

 3 _ 3 _ _ 



Körper Â'(^ 2) ist </ == ö — 1. Im Kr)rper K {] 3) ist }j = 6 — 2. Im Körper 



3_ 



Ä' () 7) ist )j = 2 — 0. Hieraus folgt, wenn wir von der trivialen Lösung 

 .r = 1, y '-= absehen: Die unbestimmte Gleichung 



.v3 + By^ = 1 



ist unmöglich für D ~ 4, 3 und 49. Vüv D ^ 2 hat sie nur die Lösung 

 X = — 1 , y = 1 . Für D -— 9 hat sie nur die Lösung .r = — 2, .y = L 

 Für D =^ 1 hat sie nur die Lösung .v = 2, _y = — 1. 



§ 2. 



Wir wollen darauf den folgenden Satz beweisen : 



Satz III. 



Es sei a cine beliebige gauze voit Null vcrschiedeue Zahl, ttud g eine 

 beliebige gauze quadrai freie Zahl ^ 1 . Daun ist für alle ganzen positiven 

 quadrat freien, zu g friiucu Zahlen f, die größer als f^ = /q {a, g) itiul von 

 der Form 



t ^2 2 



(1) 



;;/// gauzzahligeni c sind, die Fuudauu'utaleiuheit iui kubischen Kör fer h [S) 



3 

 gleich c- ae, -a'cuu 6 --- \\T)\ ist. 



