1922. No. 14. VOLLST. LÖSUNG ELNIGER UNBEST. GLEICHUNGEN DRITTEN GRADES. I I 



t,H = (_v -I- yß)„i = )^ = c ~ ad 



nur für ;;/ = 1 möglich. (Wegen .r^ + Dy^ = 1 sind .v und /)y teilerlremd). 

 Also mul3 i "= 1] sein, zv. z. b. 'w. 



Ist zweitens K {0) ein Körper zweiter Art} so bildet -( 1 + /6 + gü), 6, 6 



eine Körperbasis. Also wird hier 



I = -V • H 1 + /Ö + gm +ye + z^, 

 I' = .V --(1 +/Ö0 -+- g'Öiß) + y eg + z'ë,/, 

 I" = A- • - (1 +/So- ^ g^ g) +y S g- + z'ß g 

 mit ganzen rationalen Zahlen .v, v, z. Hieraus folgt 



g X + 3z = — [i; -\- ^ g + ^ g-), 



e 



woraus mittels (3) 



\g.x + 3cl<-in + 2|v'|». 



u 



3 3_ 



Wegen (2) wird folglich |^<,r.v + 3c| < 1, sobald \f-g>\ ^2k\f ist. 

 Dann muft ^.v + 3s = und f = — .v + (— -v/ + ,vjö sein. Hier sind die 



Koeffizienten — .v und — .v/ + v ganz; denn in einem Körper zweiter .Art 

 3 3 -^ • * 



ist /^ ± ^'(mod. 9), also weder/ noch ^ durch 3 teilbar; aus gx + 3s =^ 



folget mithin, daf3 — .v eine ganze Zahl ist. Nach dem Satze II ist aber die 

 * 3 



Gleichung: 



3 



^.v +|'i.v/ + .v')öj"' = ,? = c~aB 



nur für /// = 1 möglich. Folglich ist ^ = //, zv. z. b. iv. 



Durch eine kurze Rechnung ergibt sich z. B. das spezielle Resultat: 

 Alle quadratfreien Zahlen von der P'orm 



D = c' ± 1 , 



wo c eine ganze positive Zahl ist, haben die Eigenschaften, dafs die Funda- 



3 3 



mentaleinheit im Körper A'(V7j) gleich ± c+ \ D ist. 



1 Dedekind, loc. cit. 



