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Alis Satz III lolj^l s|)(ziiH : 



Satz IV. 



3 



Es ii^ihl iiiHi/dlicli viele huhisehe '/.(ihlki'irjx r K (\ I )) mil einer iuiidn- 



.1 



iiieiildleinliei/ voii der /' Driit e n \ I ) mil i^diir.eii rulKiiinleii e und n, ko 

 (1 eine l>e/ie/>ii^ i^ei^clxiie -oini Xiill verschiedene ganze Zahl isl, aueh ivcmi 

 in 1) - fg-, wo I und g (juadnilfrei und leilerfremd sind, die Zahl g 

 gegeben isl. 



Beweis: Ist nämlich g (lurch 3 nicht teilbar, und setzen wir in ( 1 ) 

 c = 1 + (1 + zg)a^ g^, so ist 



|l+ll+y),,VP-~l „ + [3 ^3„ +,,„„.V + „ +,^,2„6^^, 



ein ganzzahliges reduktibles Pohnoin in s, das höchstens den festen Teiler 

 3 hat. 



Nun habe ich an anderer Stelle' bewiesen, daß ein solches Polynom 

 unendlich viele quadratfreie Zahlen darstellt, wenn z die natürliche Zahlen- 

 reihe durchläuft. Diese quadratfreien Zahlen sind hier oftenbar prim zu g. 



Um den .Satz für den Fall zu beweisen, in dem _i,' durch 3 teilbar ist, 



hat man nui" in (1) c ~'^ 1 +~(1 + zg)a^g^ zu setzen. 



Anmerkung: Man kann den ersten Teil des Satzes II oftenbar auch 

 so aussprechen : Wenn a, c und IJ ganze Zahlen sind, c und aD teiler- 



3 



fremd, dann ist die Zahl ij ^ a \ D + c niemals Wurzel einer Gleichung 

 von der Form 



X" + Ax + C = (4) 



mit rationalen Koeffizienten A und C und mit ganzzahligem n^ 1, mit 



3 



der einzigen Ausnahme ij ■= ± (VlO — 0. die Wurzel der Gleichung 



x^ + 45 .V + 54 = 

 ist. 



Dieser Satz kann weiter auch so ausgesprochen werden : 

 Die Koeffizienlen Ki, in der PolenzrciJic 



00 



1 + 3r.r + 3 6-- .1-2 + [Da^ + r^l .v^ 2j " '^" 



(5) 



;/-0 



' Siehe meine Arbeit „Zur Arithmetik der Polynome", § 2, Abhandlungen aus dem Mathe- 

 matischen Seminar der Hamburgischen Universität, Bd. I, 1922, Heft 3. S. 186. 



