1922. No. 14. VOLLST. LÖSUNG ELNIGER ÜNBEST. GLEICHUNGEN DRITTEN GRADES. I3 



sind für n ^ I a//r von Xitll vcrscliicdm, von dem Falle a -- — c = + 1 , 

 Z) = 10 abgesehen, in u'elcheni K^ = O /5/. 



Beweis: Die Koeffizienten K„ genügen ortenbar der Recursionsforniel 



Es sei /; eine Wurzel von x^ — 3t" .v- + 2>c-x + [Da^ + c^) -^- O, etwa 

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î? = — ay^ D — c. Dann sind die ganzen rationalen Zahlen A,„ B,„ C„ in 



7/' = A„ if- + Bn u + C„ 



mit ganzzahligem ;/ ^ 0, eindeutig bestimmt. Aus 



ri" {ij^ ^ Sc }j- -t- 3c- )j + Da^ + c^) 

 {A„^3 + 3cA„^2 + 3c^A„^i+ Da^A„+ c> A„) ^r -r Fi} + G -- 

 folgt, daft auch die A,t der Recursionsformel (61 genügen. Nun ist 



Ko =- Aq - 0, Ki = A^ = 0, Ä'o = A.-, = 1 



und folglich für alle // K„ = A„. Also verschwindet K,i dann und nur dann 

 wenn )/ Wurzel einer Gleichung von der P'orm (41 ist. 



Hamburg, März 1922. 



Nachtrag. 



Während der Korrektur habe ich einige numerische Beispiele gefunden, 

 die die DELAUN.w'sche Behauptung über die Gleichung 



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widerlegen. Es sei z. B. Z) = 20. Im Körper Ky^ 20) ist offenbar 7 ) 20 — 19 



eine Einheit; sie ist aber nicht die Fundamentaleinheit; denn es ist 



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— 19 + 7 UO = (1 + ]20 — \=>0)-. 



Der Satz von Delaunav ist auch falsch für Z> = 19 und D = 28. — 

 In einer folgenden Arbeit werde ich Verallgemeinerungen der hier 

 gefundenen Resultate bringen. 



Kristiania, Dezember 1922. 



