ALF GULDBERG. M.-N. Kl. 



les différentes manières de déterminer une solution singulière, soit de 

 l'intégrale générale, soit de l'équation différentielle elle-même. 



Avant d'aborder ces questions, nous ferons une petite digression. 



Quand une équation aux différentielles totales du premier ordre et 

 de degré quelconque est donnée, il est toujours important de pouvoir 

 décider si l'équation donnée est complètement intégrable ou non, c'est 

 à dire si l'équation donnée se dérive d'une équation entre les variables, 

 contenant une constante arbitraire ou non. Pour les recherches ici indi- 

 quées, cette question est fondamentale. 



Nous établirons donc d'abord les bases extrêmement simples d'un 

 principe général qui réduit le problème indiqué à un certain procédé 

 d'élimination et de differentiation i. 



Ce principe établi, nous considérerons en premier lieu les équations 

 aux différentielles totales complètement intégrables. Nous montrerons 

 d'abord comment la solution singulière se tire de l'intégrale générale 

 de l'équation donnée. Cela fait, nous démontrerons sans difficulté que 

 la solution singulière se tire de l'équation différentielle elle-même sans 

 intégration. 



Quelques propositions d'une nature générale termineront cette partie 

 de nos recherches. 



A la fin, nous traiterons des équations aux différentielles totales 

 non-intégrables, en nous bornant principalement aux équations aux 

 différentielles totales du premier et du second degré. 



Sur les conditions d'intégrabilité d'une équation aux différenti- 

 elles totales du premier ordre et de degré quelconque. 



Soit donnée l'équation aux différentielles totales du premier ordre 

 et du «•*"* degré: 



(I) . . . . 2^'>'-^' ^)'h«.«a''-*""<>^'^-"'' = ' 2« = " 



où les P sont des fonctions analyticjues de x, y, z. 



Nous chercherons les équations de condition qui doivent exister 

 entre les fonctions P {x, y, z\ si l'cciuation ( i) admet une intégrale 

 contenant une constante arbitraire. 



• Jusqu'ici on s'est conicnté, comme on le sait, de ilc'velopper les conditious d'intégrabilité 

 pour des équation? lim-aircs aux dilfcrenticllci lululcs. 



