1 899- No. 4. SUR LA THÉORIE DES SOLUTIONS ETC. 5 



Soit 



3 = f{x, y, a) 

 cette intégrale. 



En diftérentiant cette équation, on aura : 



dz = %dx + %dy. 

 dx ^ dy ■' 



Substituant cette valeur de dz dans l'équation donnée (1), l'équation 

 (i) prendra la forme: 



-^Qß^^^dxß^dyß^^^o , ^ß = n 



où les Q sont des fonctions entières en — et r^. 



dx ày 



L'indépendance de ;r et ^ exige cependant que les coefficients de 

 dx et dy dans cette équation soient égaux à zéro. On obtiendra ainsi 

 un système de « -|- i équations aux dérivées partielles : 



(2) ö.(^'^' - i' |)=°- (^=1.2. . .«+0. 



La fonction z, déterminée par ce système, satisfera à l'équation (i). 

 Il faut donc pour que l'équation (i) soit complètement intégrable, que 

 les équations aux dérivées partielles (2) soient compatibles, et comme 

 la fonction s contiendra une constante arbitraire, il faut que les condi- 

 tions de compatibilité soient vérifiées identiquement. La détermination 

 de ces conditions de compatibilité n'exige qu'un certain procédé d'élimi- 

 nation et de differentiation. 



Comme premier exemple, considérons l'équation linéaire aux diffé- 

 rentielles totales: 



R{x, y, z)dz -f Q{x, y, z)dy + P(x, y, z)dx = o, (a) 



où R, Q, P sont des fonctions données de x, y, z. 



En ce cas, le système d'équations aux dérivées partielles (2) prendra 

 la forme: 



Ö + ^g = o- 



