1 899- No. 4. SUR LA THÉORIE DES SOLUTIONS ETC. 7 



où les /" sont des fonctions analytiques données de x, y, s. 

 Soit 



(2) z=f(x, y, a) 



l'intégrale générale de l'équation (i), a désignant la constante arbitraire. 

 En différentiant l'équation (2), on aura: 



(3) ä. = f^dx^'Idy. 



En éliminant la constante arbitraire a entre les équations (2) et (3), 

 on obtiendra l'équation (i), multipliée par une certaine fonction de 

 X, jC, z. 



La question que nous allons aborder est la suivante: exi.ste-t-il une 

 relation entre les variables x, y, s, qui satisfait à l'équation (i), et qui 

 ne se dérive pas de l'intégrale générale (2), quand on donne à la con- 

 stante arbitraire a une valeur particulière constante? 



Comme nous avons supposé que l'équation (i) est obtenue par 

 élimination de la constante a entre les équations (2) et (3), il est clair 

 que l'on obtiendra la même équation (i), a étant considéré pendant l'élimi- 

 nation soit comme une constante, soit comme une fonction variable. 



Considérons a comme une fonction de jr et j en l'équation (2); 

 nous aurons donc: 



z=f{x, y, a{x, y)) (3a) 



En différentiant cette équation, on aura: 



de = % dx 4-% dy -\-%~ da (4) 



dx ^ dy -^ ^ da ^^' 



Le résultat de l'élimination de a [x, y) entre les équations (3 a) et (4) 

 n'est cependant équivalent au résultat de l'élimination de a entre les 

 équations (2) et (3), que quand les équations (2) et (3) sont équivalentes 

 aux équations (3 a) et (4), et cela a seulement lieu quand : 



^da = o. 

 da 



Cette condition est remplie, soit pour 



da=o 

 soit pour 



-^ =0. 

 da 



