8 ALF r.ULDBERG. M.-N. Kl. 



Mettre da ^ o, c'est supposer a = constant, ce qui est contraire à 



notre hypothèse. Il nous reste donc seulement la supjjosition: 



I- .„ 



L'équation (2) définit donc encore une intégrale de l'équation (i), si 

 l'on considère a comme une fonction de x et y, déterminée conformé- 

 ment à l'équation : 



da 



= o, 



à supposer que l'équation (2) et l'équation (3) soient encore définies pour 

 ces valeurs de a ^. D'après notre définition nous appelons une pareille 

 intégrale une solution singulière de l'équation (1). 



Exemple. Soit donnée l'équation aux dilférentiellcs du second degré: 



«ärfjrS ^- zxdy^ -f" x-dz^ -\- zydxdy — [ïxt -\- y-)dxdz + yxdydz =: o, 



dont l'intégrale générale est: 



z =^ ay -\- a^x. 



L'équation (5) prendra ici la forme: 



— ^ y + 2.ax = o; 



a, déterminé conforniémcnl à cette équation, et sub.stitué dans l'intégrale générale, donne 



la solution singulière: 



4x2 -j- ^2 = o. 



II y a cependant ([iiel([ue remarques à faire relativement au déve- 

 loppement ci-dessus. 



Remarque t. Il est clair que le procédé indi(jué pour trouver des 

 solutions singulières peut aussi mener à des intégrales particulières. 

 Car rien n'empêche que l'équation 



9/ 

 da 



soit satisfaite par des valeurs constantes de a. 



Exempte. L'équalion aux dilférentiellcs totales du troisième degré: 



(t —yYdx» + dy« d^+ 2a-(. —y)dx^dy — 2x(M—y)dx^dt + x^dxdy^ — zx^dxdydz + 

 + x^dxdt^ + idydàt — idtdf — o 



' Ce qui n'est ordinairement pas le cas; l'intégrale générale t=/{x, y, a) étant donnée 



3/ 

 dans un certain domaine S, la fonction — n'a pas en général de valeurs égales à 



d" 



dans la mtmc domaine S. 



