lO ALF GULDBERG. M.-N. Kl. 



laquelle s'annule, si x est réel, fini et négatif, pour <i ^ -|- ce , si r est réel, fini cl posi- 

 tif, pour a = — ce . En substituant ces valeurs dans l'intégrulc générale, on obtiendra 

 l'équation t ■\- y =: o, qui satisfera à l'équation donnée. Cette intégrale n'est pas au seos 

 ordinaire une intégrale p.trticulière de l'équation donnée; il faut la regarder plut^>t comme 

 une solution singulière, déterminée en donnant à la constante arbitraire une valeur constante 

 difendante. 



Il ressort de notre dcveloppcmcnt que toutes les solutions singulières 

 obtenues contiennent la variable z. Mais comme il est facile de donner 

 des exemples d'équations aux différentielles totales qui admettent des 

 solutions singulières où z ne figure pas, il faut trouver un procédé qui 

 détermine ces solutions singulières. 



En effet, nous n'avons qu'à faire un changement de variable dé- 

 pendante. Nous avons jusqu'ici regardé z comme la variable dépen- 

 dante, mais comme c'est un choix tout à fait arbitraire, nous pouvons 

 aussi bien choisir x ou y comme variable dépendante. Nous n'avons 

 donc qu'à répéter textuellement la raisonnement fait ci-dessus, au cas 

 nouveau où j: ou j figure comme variable dépendante, et nous trouverons 

 toutes les solutions singulières qui contiennent x ou y. Un exemple suffira 

 pour fixer les idées. 



Exemple. Soit donnée l'équation linéaire aux différentielles totales: 

 %H X -\- ydt -\- d.c -\- dy =:o, 

 qui possède l'intégrale générale: 



ï = a — Yx + y. 



L'équation (5) ne détermine pas ici la constante arbitraire a. Regardons cependant y 

 comme la variable dépendante, l'intégrale générale s'écrit alors: 



y = (z — a)^ — x-= f(x, z, a). 

 Nous n'avons donc qu'à former _ = o et à substituer la valeur de a, déterminée 



par cette équation, dans l'intégrale générale, pour avoir la solution singulière cherchée. 

 On trouve: 



= — 2(ï — a), 



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qui s'annule pour a = z; cette valeur de a, .substituée dans l'intégrale générale, donne la 



solution singulière: 



y ■\- x^o, 



qui, comme on voit, ne contient pas z. 



Nous avons jusqu'ici considéré l'intégrale générale de l'équation (i) 

 comme résolue par rapport à une des variables, que nous avons choisie 

 comme variable dépendante. Il faut cependant ajouter quelques mots 

 sur le cas où l'intégrale générale est donnée sous une forme implicite. 



