1 899- No. 4. SUR LA THKORIE DES SOLUTIONS ETC. II 



Soit: 



<P {x, y, z, a) = 



l'intégrale générale de l'équation (i); supposons d'abord que <1> est un 

 polynôme en x, y, z, a. 



Il est maintenant très simple, d'après ce que nous avons dit, de 

 dériver les conditions nécessaires et suffisantes pour une solution singulière 

 de l'équation (i). 



En difterentiant l'équation <p = o, en supposant que a soit une fonc- 

 tion de X, y, s, on aura: 



-- ax -\- ;^ ay -\- :^ az -\- ~~ aa = o. 



dx ' dy -^ ' dø 'da 



df 2z 



L'équation (s) -— = ou — - ^ o, qui détermine la valeur de rt, pour 

 da da 



laquelle une solution singulière est définie, prendra ici la forme: 



dz da 



da 9<ß' 



Quand l'intégrale générale est résolue par rapport a. y ou x, les 

 équations correspondantes, —^^o et v^ '= o, s'écrivent ici: 



a<g dø 



'dy da dx da 



da dø ' da dø 



dy dx 



On voit ainsi qu'une solution singulière exige que: 



dø _ 



da 



dø 



La valeur de a, tirée de l'équation — =0, substituée dans l'équation 



dû 



0^0, donnera donc une solution singulière de l'équation (i). 



Les remarques faites ci-dessus au cas où l'intégrale générale était 

 résolue par rapport à z, s'appliquent directement ici. 



Si n'est pas une fonction entière en x, y, z, a, les expressions 



dø dø dø 



da da da , , , , . dø dø dø 



— , — , — peuvent s annuler aussi quand les expressions :;— , z— , r— 



dø dø dø ^ ^ ^ dz dy dx 



dz dy dx 



deviennent infinies, condition qu'il ne faut pas négliger. 



