ALF GULDBERG. M.-N. Kl. 



Nous n'entrerons cependant pas dans les détails du cas présent; 

 seulement nous Insistons sur ce point, qu'il faut toujours en cas de doute 

 revenir aux cas déjà examinés. 



Avant de terminer ces remarques, nous dirons quelques mots sur 

 l'interprétation gcometrifjue de la solution singulière. 



L'intégrale générale 



z=f(x, y, a) 



de l'cquation donnée (i) définit un système de surfaces 5' simplement 

 infini, et le résultat de l'élimination de a entre les deux équations 



df 

 z^f[x, y, a) et ~ ^o 



dû 



définit donc l'enveloppe des surfaces S si elle existe. La solution singulière 

 détermine ainsi l'enveloppe des surfaces particulières, définie par l'intégrale 

 générale. 



Comme il a déjà été mis en évidence, la surface obtenue peut coin- 

 cider avec une des surfaces particulières, ou se composer de différentes 

 parties des différentes surfaces particulières. Elle peut aussi, comme on le 

 sait, définir le lieu géométrique des courbes singulières des surfaces parti- 

 culières, elle ne définit en ce cas aucune solution de l'équation donnée. 



Sur la dérivation directe de la solution singulière de l'équation 

 aux difTérentielles totales complètement intégrable. 



Nous partirons d'abord d'une ocjuation linéaire aux dilicrcntielles 

 totales 



äz-i-Q^y-^Ptix = o, (i) 



où P et Q sont des fonctions données de x, y, s. 



Soit 



■^=/(^. /. 'I) (2) 



l'intégrale générale de l'équation (i). 



L'équation (i) est définie comme le résultat de l'élimination de a 

 entre l'équation (2) et l'équation : 



^'^Yx'^'^^Z'^'' (3) 



c'est il dire que l'équation (1) est é(]uivalente à l'équation (3), en sup- 

 posant f|ue a soit regardé comme une fonction de x, y, z, déterminée 

 par l'équation (2). 



