J. No. 4. 



SUR LA THÉORIE DES SOLUTIONS ETC. 



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Nous allons maintenant établir une relation entre l'équation diffé- 

 rentielle (i) et son intégrale générale (3), de façon à pouvoir suivre l'effet 

 produit par la constante arbitraire a, définie conformément à l'équation 



df 



f^ = o, sur l'équation diftérentielle (i). 

 da 



En eflet, nous aurons: 



d{dz) 



dans (i) 



= ^ dans (3). ^-f^ dans (2) = ^: 

 da ^^^ ds ^ ' da 



da 



dø 



A^ 



ou enfin : 



djdz) 

 dz 



équation qui existe, à supposer (jue !a valeur du premier membre soit 

 dérivée de l'équation (i), et la valeur du second membre de l'équation (2). 

 Nous savons qu'une solution singulière de l'équation (i) exige que 

 la constante a se détermine conformément à l'équation 



dz 



Nous n'avons donc qu'à mettre — - == o dans l'équation développée 



da 



(A), pour étudier l'effet d'une solution singulière sur l'équation différen- 

 tielle (i). 



Avant de traiter la question au point de vue général, nous ferons 

 une hypothèse spéciale sur la forme de l'intégrale générale (2). Nous 



dz . , ^ 

 supposerons que -- ait la torme: 



= Q (.1-, 7, a)[a — ip {x, y)] , 



où m est un nombre positif, Q une fonction de x, y, a, qui ne devient 

 ni nulle ni infinie pour a = ip {x, y). L'équation (A) se mettra ainsi 

 sous la forme: 



d{dz) 



dz 



d'où 



«'log {Q[a-ii,{x,y)f') , 



d{dz) ^ 



dz ~ 



dQ 

 dx 

 "o' 



dy. 



