14 ALF GULDBERG. M.-N. Kl. 



On voit ainsi que la valeur a = ip{x, j'), qui annuUera f^, c'est-à- 

 dire la valeur de a qui détermine une solution singulière de l'équation 



(i), rend infinis les coefficients de dx et t/j dans l'expression — — -, 



de 



dérivée de l'équation (i). 



On observe aussi que si la valeur de a ne dépend que d'une des 

 variables, par exemple de x, c'est le coefficient de dx, qui deviendra 



infini ; et si -- s'annule pour une valeur constante de a, ni le coefficient 

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de dx ni celui de dy ne deviendront infinis. 



Nous concluons de cela qu'une solution singulière de l'équation (i) 

 donnera des valeurs infinies à au moins un des coefficients de dx et dj 

 dans l'expression -\ — -, dérivée de l'équation (i), tandis qu'une intégrale 

 particulière laisse ces coefficients finis i. 



Le contraire n'a pas lieu; une relation pour lacjuelle les coefficients 

 de dx et dj dans l'expression -- — deviendront infinis, ne définit pas 

 en général une solution singulière de l'équation (i). En effet, soit m 



d(dz: 



Sf 

 négatif, dans l'expression supposée, pour .— , la valeur a = ip{x, j') 



rend encore infinis les coefficients de dx et dy dans 1 expression 



mais cette valeur de a, n'annulant pas ~, ne définit aucune solution 



da 



singulière de l'équation (i). 



ExtmpU. Soit donnée l'éiiu^ition linéaire aux différentielles totales: 



Zdz — Vas — £3 _ (a; _ ^)2 dy 4- (.B — k) ,te = O, 



oti les h et k sont des constantes données. 



En formant 1 expression , nous trouverons: 



2z 



?<^j = _ \ ' - V*«-f«-(x-^)« ] dy + in^ ,/^. 





Le coefficient de i/y devient infini pour la relation: 

 Z^-\-(x — i)"- = Jfi, 



' Nous avons vu, il est vrai, qu'une valeur variaâlt de a peut aussi conduire aux 

 intégrales particulières de l'équation (i), mais ce ne sont que des cas très exceptionnels, 

 et l'intégrale particulière possède donc, en Rénéral, la propriété caracléristiquc de la 

 solution singulière, celle d'être l'enveloppe des surfaces du système S, définies par 

 l'intégrale générale de l'équation donnée. 



