1 899- No. 4. SUR LA THÉORIE DES SOLUTIONS ETC. IS 



cette relation, satisfaisant à l'équation donnée, est une solution singulière, ce qu'on vérifie 

 facilement par l'intégrale générale de l'équation, qui est: 



z^ + (x — kf+{y— af = h\ 



où a désigne la constante arbitraire. 



Les coefficients de dx et dy deviendraient cependant aussi infinis quand s := o, mais 

 cette relation, ne satisfaisant pas à l'équation donnée, ne définit aucune solution de 

 l'équation. 



Nous avons jusqu'ici fait une hypothèse spéciale à propos de la 

 forme de l'intégrale générale, il faut donc se débarrasser de cette suppo- 

 sition et donner une démonstration rigoureuse de la proposition énoncée. 



Partons de l'équation (A) et représentons, pour plus de netteté, 

 — par \\){x, y, a\ l'équation (A) prendra donc la forme: 



Adz) , , ,, . 



^ = rf log ,// [x, y, a) 



= Lim Jog V^ (^ + -^^- y^ ^) - log '/^(^' y^ ^) dx 

 Jx 



Lim Jog ^>{x, y ^r zly, a) — log ip (x, y, a) 

 ' Jy 



Considérons d'abord le coefficient de dx. Nous prétendons que ce 

 coefficient deviendra infini pour une solution singulière. En effet, pour 

 une solution singulière, on a ip (x, y, a) = G, ce qui a lieu pour des 

 valeurs déterminées de x,y, a; par conséquent, la fonction ip (x-\- Jx,y, a) 

 n'est pas nulle pour une série de valeurs de Jx, quelques petites qu'elles 

 soient; log ip{x -\- zlx, y, a) ne prend donc pas continuellement les 

 valeurs de log ip (x, y, a) c'est-à-dire la valeur — ■ X) . Le numérateur 

 de la fraction sous le signe limite est donc égale à une différence 

 entre une valeur finie et une valeur infinie, ce qui a lieu aussi à la 

 limite, c'est-à-dire, que le coefficient de dx sera infini pour la solution 

 singulière, définie par la valeur de «, tirée de l'équation ip{x, y, a)^o; 

 à supposer que cette valeur de a dépende de x. 



Le même raisonnement, répété littéralement, montre aussi que le 

 coefficient de dy deviendra infini pour la solution singulière. 



Nous avons donc la proposition : 



Une solution singulicre de V équation linéaire aux différentielles 



totales : 



dz + Qdy + Pdx = o, 



dérivée de son intégrale générale: 



z =f(x, y, a). 



