l6 ALF GULDBERG. M.-N. Kl. 



en donnant à la constante arbitraire a une valeur variable, conforme 



à ^equation: 



da 

 rend infini un au moins des coefficients de dx et dy dans V expression 



~ — \ tirée de V équation donnée. 



Comme je l'ai déjii fait remarquer, le contraire de cette proposition 

 n'a pas lieu. Comme nous sommes partis d'une forme de l'intégrale géné- 

 rale, qui demande, à ce que les solutions singulières obtenues contiennent 

 la variable z, il s'ensuit que, si les coefficients de dx et dy dans l'expres- 

 sion -^ — deviennent infinis, en raison d'une relation ne contenant pas 

 2z 



z, on ne peut plus rien conclure. Or nous savons c^u'il existe des solu- 

 tions singulières qui ne contiennent pas z: il faut donc trouver un pro- 

 cédé pour déterminer ces solutions singulières. 



Rien n'est plus facile; il ne faut que changer de variable dépen- 

 dante. Il ne sera pas cependant nécessaire de répéter au cas où nous 

 considérons y ou jr.comme variable dépendante, ce que nous avons dit 

 au cas où z était la variable dépendante; un exemple suffira pour mettre 

 ce point en lumière. 



Ejcempk. Soit donnée l'équation linéaire aux différentielles totales: 

 zS X ■\- y dz -^ dy -\- dx ■= o. 



-Si l'on forme l'expression , on ne trouvera rien; tandis que dans l'expression 



, qui prendra la forme: 



dy 



d{Jy) ' ,. 



dy i/~V 



Vx + y 



le coefficient de dz deviendra infini pour la relation: 



x-\- y = O, 



laquelle satisfait à l'équation donnée; la solution singulière cherchée est donc .c -|- ^ = o, 

 qui est indépendante de z. 



Maintenant la question peut se poser comme suit : les relations qui 

 satisfont à ro(|uation donnée, et ([ui rendent les coefficients de dx et dy 



de l'expression infinis, sont-elles des .sc^lutions singulières, d'après 



az 



la définition admise? 



