l899- No. 4. SUR LA THÉORIE DßS SOLUTIONS ETC. 17 



Une discussion, que nous supprimerons ici pour ne pas trop entrer 

 dans les détails, montre en réalité, que nous ne trouverons, par le pro- 

 cédé indiqué que des solutions singulières déjà définies. 



Nous nous sommes bornés jusqu'ici aux équations linéaires aux 

 différentielles totales. Mais comme toute équation aux ditierentielles 

 totales complètement intégrable de la forme: 



(I) F(x, /, z, dx. dy, dz) = "^P^x. j, z),^ „^ „^^ dx'^ dy'"^ d^' = ^a = n 



est équivalente à un produit d'équation linéaires aux différentielles totales, 

 les résultats obtenus s'appliquent à toute équation aux différentielles 

 totales de la forme (I). 



Il est cependant important dans certains cas de déterminer la solu- 

 tion singulière d'une équation donnée (I) sans avoir résolu l'équation 

 donnée en un produit d'équations linéaires. Nous montrerons donc 

 comment on peut toujours déterminer la solution singulière qui définit 

 l'enveloppe des surfaces particulières. 



En effet, l'enveloppe des surfaces particulières, définies par l'intégrale 

 générale, est le lieu géométrique des points où deux valeurs de dz, en 

 général distinctes, se confondent. Il suffit donc, pour trouver la solution 

 singulière cherchée, d'éliminer dz entre les deux équations: 



d(dz) 

 Soit 



2 Ô (x, y, z\. dx' df = iJ^j=n 



le résultat de l'élimination; cette équation ne peut pourtant pas exister, à 

 cause de l'indépendance de x et de /, à moins que les coefficients de 

 dx et dy ne s'annulent. Une relation : 



(P [x, y, z) = o 



pour laquelle les coefficients de dx et dy s'annulent, et qui satisfait à 

 l'équation donnée, est donc la solution singulière cherchée. 



Exemple. Soit donnée l'équation aux différentielles totales du second degré: 



F= z'^d.T? — zxdyi' + x^ds'^ + zydxdy — (ixs + /)(&•<& + yxdydz = o, 



qui donne: 



-__ = ïx^dz — (2xz-\- y") dx + yxdy = o. 

 d(dz) 



Le résultat de l'élimination de Jz entre ces deux équations est: 



- Uvz + f-) i^ dx^ + (4,c; + /) Z dxdy - (j^xz + v^) L df- = o, 



4a;-' 2.1- 4 



Vid.-SelBk. Skrifter. M.-N. Kl. 1899. No. 4. 2 



