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dont les coefficients s'annulent pour la relation ^tz -|- v- = o, laquelle, satisfaisant à IVquation 

 donnée, est la solution singulière cherchée. 



Nous avons ici supposé que la solution singulière contient .;; si 

 donc la relation pour laquelle les coefficients de äx et dy s'annulent ne 

 contient pas s, nous ne pouvons rien affirmer par rapport à la relation 

 trouvée. Pour trouver cependant les solutions singulières, qui ne con- 

 tiennent pas s, nous n'avons, comme auparavant, qu'à changer la vari- 

 able dépendante et répéter mot pour mot, au cas où / ou x sera 

 regardé comme la variable dépendante, ce que nous venons de dire au 

 cas où s était la variable dépendante. Un exemple suffira pour fixer 

 les idées. 



ExempU. Soit donnée l'équation aux différentielles totales du second degré 

 F=(l—x —y)dx^ + dy^ — (•« + y)ds^ + ^dxdy — i(x -\- y)dxdz = o. 



L'élimination de dz entre les équations F=o et = o ne donne aucun résultai; tandis 



d(dz) 



que l'élimination de dy entre les deux équations: 



F^ o et = 2dx + 2dy = o 



d(dy) 



donnera, comme résultat d'élimination, l'équation: 



(x -|- y)d3? -\- 2{x + y)dxdz -|- (a; -|- y^dz^ = o, 



dont les coefficients s'annulent pour la relation x-\-y^o, qui, satisfaisant à l'équation 

 donnée, est la solution singulière cherchée; elle est, comme on voit, indépendante de z. 



Avant de terminer ces recherches sur les solutions singulières des 

 équations aux différentielles totales complètement intégrables, nous dé- 

 montrerons quelques propositions, qui se rattachent à ce sujet. 



A. Une équation linéaire exacte aux différentielles totales n admet 

 pas de solution singulière. 

 Soit 



a« ' ay -^ ' 3;» 



l'équation linéaire exacte aux différentielles donnée, et soit ^ :=/(a;, j) 

 une solution suppo.séc singulière. 



Cela étant, l'intégrale générale de l'équation donnée: 



(p [x, y, z) = a 



