1 899- No. 4. SUR LA THÉORIE DES SOLUTIONS ETC. I9 



doit, en y substituant z=f{x, y), déterminer a comme une fonction de 

 X et y, mais pas comme une constante. Soit F (x, y) cette valeur de a. 

 Nous aurons donc: 



F(x, y) = (p {x, y, z) 



d'où, en difierentiant: 



dx ~^ dy -^ dx ' dv -^ ' de ~ ' 



mais l'équation: 



dFix,y), . dF{x,y), 



— ^; — — dx -\ ; -^^ dy = o 



dx ' dy -^ 



exige, à cause de l'indépendance de x et y, que: 



dF(x, y) dF(x, y) 



dx dy 



c'est-à-dire que /^= const. 



B. Une solution singulière d'une équation linéaire aux différentielles 

 totales complètement intégrable rend infini le facteur d'intégratioti de 

 l'équation donnée. 



Soit: 



Xdx -i- Ydy -\- Zdz = o (a) 



l'équation linéaire donnée, les X, V, Z étant des fonctions de x, y, z\ 

 et soit ju un facteur d'intégration. 

 L'équation : 



(i {Xdx + Ydy + Zdz) = (b) 



est donc une équation linéaire exacte aux différentielles totales. Une 

 solution singulière de l'équation (a) annule l'équation (a), mais, d'après ce 

 que nous venons de dire, elle n'annule pas l'équation (b) ; ceci n'a lieu 

 que quand en même temps la solution singulière rend le facteur d'inté- 

 gration ju infini. 



Exemple. Soit donnée l'équation linéaire aux diliérentielles totales: 



■\lx^ + / 4- «2 afe + œA; + ydy + idz = o. 



Soit le facteur d'intégration 



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