ALF GULDBF.RG. M.-N. KI. 



qui esl rciulii infini par la solution singulière :r'^ -{- y^ -{• :- ^ o. De plus l'c'quation liné- 

 aire exacte: 



xdx -j- ydy + zdz 



'l! + = O 



n'est pas salisrailc par la solution singulière x- -\- y^ ■\- z^ ^ o. 



On voit ainsi, que si l'on connait un facteur d'intégration d'une 

 équation linéaire aux différentielles totales, l'équation donnée peut tou- 

 jours être préparée de telle sorte qu'elle n'admette plus une solution sin- 

 gulière. On peut cependant généraliser cette proposition. 



En effet, le théorème suivant se démontre sans difficulté. 



C. Une équation linéaire aux différentielles totales peut toujours être 

 transformée de telle sorte quelle n admette plus une solution singulière 

 donnée. 



Soit 



Xdx-\-Ydy + Zdz = o (c) 



l'éciuation donnée, et soit 



u = qi {x, y, g) ^ o 

 une solution singulière de l'équation (c). 



Transformons l'équation (c) en substituant aux variables rr, f, z les 

 nouvelles variables x, y, u. L'équation (c) prendra la forme: 



du ^= Q {x, y, u) dy -\- P {x, y, u) dx . . . . (d) 



L'équation (d) sera satisfaite ou non par a = o. Si u^o n'annule 

 pas l'équation (d), la proposition est démontrée. Si au contraire «=o 

 satisfait à l'équation (d), il faut que P et ß contiennent u comme facteur 

 à une certaine puissance positive, que par exemple 



Q = uQ^ (x. y, u) et P=u^Pi (x, y, «), 



où o-da -^ {S et où Q\ et P\ sont des fonctions de x, y, a, qui ne 

 seront ni nulles ni infinies ni indéterminées pour u:=o. L'équation (d) 

 s'écrit donc: 



du = u'"Qidy-\-JPidx (e) 



Quand m = o sera une solution singulière de i'eijuation (e), il faut 

 qu'un au moins des coefficients de dx et dy dans l'équation: 



d{dü) 

 du 



= [.«« 'ß.+««^;ö.]^^4-[,,/ ■/^+/'^J]^x 



