1 899- No. 4. SUR LA THÉORIE DES SOLUTIONS ETC. 21 



soit infini pour u^^o. Mais cela exige queft<;^i, car a>i demande- 



dQ 

 rait que «<" -~ fût infini pour ?/ = o, ce qui est contraire à notre suppo- 

 sition quant à öj. En divisant l'équation (e) par ?<". nous aurons: 



u""' d2i = Ö, dy -(- i/ "/"j t/a; 

 ou 



-^_ dti ^ " = Ö 1 ä'j' -^u^'^P, dx, 

 I — a 1 -^ I 1 



équation qui n'est plus satisfaite par la relation u = o. 



Exemple. Soit donnée l'équation linéaire aux différentielles totales: 



[iz - Uxz + /) + y i^-i^s + /] Ä +[y-x ^Axz + y^ dy -f ^xdz = o, 



qui admet la solution singulière: 



a = 4XS + ;/3 = o. 



En choisissant comme des variables nouvelles x, y, «, l'équation donnée prendra la 

 forme : 



— yz7(ya — r) dx — y« xdy -\- — du ^ o, 



et en divisant cette équation par y«, nous aurons l'équation: 



d-^u = (y« — j)') rfx + xdy, 

 qui n'est plus satisfaite par la relation k = o. 



D. La valeiir de d^z, tirée de V équation aux dijjérentielles totales: 

 F (x, y, z, dx, dy, dz) = o, 



o/i F est un polynôme homogène en dx, dy, dz, se mettra, en général, 

 pour une solution singulière, définissant l'enveloppe des surfaces parti- 

 culières, sous la forme indéfinie — . 



En effet, en différentiant l'équation donnée: 

 F {x, y, z, dx, dy, dz) = o 

 et en supposant z la variable dépendante, nous aurons: 



d'où: 



dF , . SF , , dF , . dF ^ . . 



■:r- dx -\- ^— dy 4- —- dz 4- ^ryj-r d^z = o (a) 



dx ' dy -^ ' 3z ' 3{dz) 



^r- dx 4- ^r- dy -\- ^— dz 



dx ' dy -^ ' dz 



d'^z = • 



dF 



d{dz) 



