ALF GULDBERG. M.-N. Kl. 



dF 

 Pour une solution singulière, on a . -7-: = o, mais de l'équation (a), il suit que: 



dF dF dF 



^dx+~dy + ^dz=0. c, q. f. d. 



Cette proposition montre donc c|ue le contact de l'enveloppe avec 

 une surface particulière n'est en général pas du second ordre. Nous 

 avons ici supposé que la solution singulière contient e\ si cela n'a pas 

 lieu, il suffit de changer de variable dépendante, comme il a été indiqué 

 ci-dessus pour des cas analogues. 



Sur la détermination des solutions singulières des équations aux 

 différentielles totales non-intégrables. 



Nous considérerons d'abord une étjuation linéaire aux difterentielles 

 totales non-intégrable: 



Pdx-\-Qdy-\-Rde = o, (i) 



où P, Ö, R sont des fonctions données de x, y, z. 



Nous appellerons solution singulière une relation quelconque 



e=f{x^y) (2) 



qui satisfait à l'équation donnée. 



En différentiant l'équation (2), nous aurons: 



^^ = K'^^ + a7^>' (3) 



En substituant les valeurs de z et dz, tirées des équations (2) et (3), 

 dans l'équation (i), on aura: 



(4) 



• Y f> ^' -^) + li • ^(/' ^' A ^^ + [ö(-/; •^' ^') + ^ ■ ^(-^ A ^y = • 



Si l'équation (2) satisfait à l'étiuation (i), il faut que l'équation (4) 

 soit une identité; cela exige, à cause de l'indépendance de ,r et de j, que: 



P{A a-, j) -f g^ . /? (/, x,y) = o 

 Q(f,x,y)^^^.R(f.x,y) = o 



(5) 



Mais ces deux équations aux dérivées partielles ne sont compatibles 



que quand : 



_9_ \ PLf, x,y) -\ _ ^ r g(/. x,y^ . 



dyYRiJ, x,y)\ dx[R(f, x, y)\ ' ' ' ' ^ ' 



