1 899- No. 4. SUR LA THÉORIE DES SOLUTIONS ETC. 23 



Si donc il existe une fonction z^ f(x, y), qui satisfasse aux équa- 

 tions au.x dérivées partielles (5) et (6), elle définit une solution singulière 

 de réquation donnée (i). 



Eliminons cependant les dérivées partielles -^ et ~- entre les équa- 

 tions aux dérivées partielles (5) et (6), nous aurons une équation de la 



forme: 



F{x^ 2/-/) = o (7) 



et nous pourrons donc énoncer la proposition suivante: 



Toute fonction f, tirée de l'équation (y), qui satisfait aux équations 

 aux dérivées partielles (5J, définit une solution singtilière de l'équation 

 donnée (i). 



Exemple. Soit donnée l'équation linéaire aux différentielles totales non-intégrable: 



(2 — yx — y)dx -f {z^ — xyz — x)dy -\- dz^o. 

 Les équations aux dérivées partielles (5) s'écrivent ici; 

 3/ 



, =—f-\-yx-\ry 



% = -P + yxf + x, 

 dy 



(«) 



l'équation (6) prendra donc la forme: 



3/ ^3/ 3/ 



— — X — I = 2/ — — xy — — y/ — I. 



dy dx dx 



3/ 3/ 

 L'équation (7), qu'on obtiendra en éliminant — et — entre ces trois équations, se 



dx dy 

 mettra sous la forme : 



r- - (2-«' + ;')/ + (xyf + y\c = 0, 



dont les racines sont: 



/ — yx + y et / = yx. 



La fonction y" = jf.E, qui satisfera aux équations aux dérivées partielles («), définit donc 

 la solution singulière cherchée de l'équation donnée; et on voit, eu efl'et, que l'équation 

 donnée est satisfaite par z=yx. 



Considérons maintenant l'équation aux différentielles totales du second 

 degré non-intégrable: 



Adx^ -\- Bdxp' -\- Cdz^ -\- zDdzdy -(- 2Edzdx -)- 2Fdydx = o 



où les A, B, C ... F sont des fonctions données de x, y, z. 



Soit 



z=f{.x, y) 



