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ALF GULDBERC. 



M.-N. Kl. 



une solution singulière de l'équation donnée. En différentiant cette 

 équation, on aura : 



dz=-^dx-\- -— dy. 

 dx 9y 



Substituant ces valeurs de 2 et dz dans l'équation donnée, elle 

 prendra la forme: 



+ [-+-1 + 41)?'^=° 



d'où suivront, à cause de l'indépendance de x et de y, les équations 

 aux dérivées partielles: 



^ + 2^-^- + ^ 



m- 



' dx dy Sx dy 



3/ 





(a) 



qui ne sont cependant compatibles que quand / satisfait aux équations: 



ABC + 2FED — AD'^ - F£^ — CF^ = o 

 \ -£± iE'- — AC]_ d [- 



d 

 dy 



E± iE^- — AC'\_ d \—D± JEß-BCX (h) 



C 



S'il existe donc une fonction z =/(a;, »/), qui satisfasse aux é(iuations 

 (a) et (1>), elle définit une solution singulière de l'équation donnée. 



df cf 



En éliminant et / entre les équations (a) et la seconde éiiua- 

 dx dy i y I 1 



tion (I)), nous aurons une équation: 



f {■l', yJ) = ». 

 et nous pouvons énoncer la proposition suivante: 

 Toute fonction /, déterminée par les équations: 



ABC-{- 2FED — AD-^ — BE^ — r/^2 == o 

 <7>(^. ?/,/) =0, 



qui satisfait aux équations aux dérivées f^artielles {d). définit une solu- 

 tion singulière de l' équation donnée. 



