Sur une classe particulière d'équations aux dérivées 

 partielles du premier ordre 



par 



Alf Guldberg. 



L'ans ses recherches sur les solutions singulières des équations 

 différentielles ordinaires, Lagrange a traité un problème qu'il énonce de 

 la manière suivante: »Si les équations primitives singulières ont moins 

 d'étendue que les équations primitives proprement dites, parce qu'elles 

 ne renferment aucune constante arbitraire, on peut les regarder, sous un 

 autre point de vue, comme plus générales que celles-ci, parce qu'une 

 même équation primitive singulière peut répondre à une infinité d'équa- 

 tions dérivées : et c'est un problème indéterminé de trouver une équa- 

 tion dérivée, qui ait une équation primitive singulière donnée. Comme 

 ce problème est curieux, et qu'il peut être utile dans plusieurs occa- 

 siones, nous allons en donner ici une solution, pour servir de complé- 

 ment à notre théorie des équations primitives singulières.« ^ 



En traitant ce problème Lagrange est conduit à une classe inté- 

 ressante d'équations différentielles ordinaires, dont l'intégration n'exige 

 que differentiations et éliminations. 



Le but des lignes qui suivent sera d'étendre les résultats obtenus 

 par Lagrange^ aux équations aux dérivées partielles du premier ordre. 

 En suivant le procédé du grand géomètre, nous espérons rendre assez 

 clairs les résultats de nos recherches. 



I. Considérons une famille de surfaces représentée par l'équation 



V (x, y, z, a, b, ^) = o (i) 



où les trois paramètres a, /;, c sont liés par une relation. 



<P (a, b, c) = o. (2). 



1 Oeuvres de Lagrange, tome X, p. 220. 

 Vid.-Selsk. Skrifter. M.-N. Kl. 1899. No. 8. 



