iSga. No. 8. sur une classe particul. d'équations etc. 



d'où, en éliminant jr et y entre ces équations, on aura l'équation: 



"^+IÄ + Ä^=°- ('l)- 



Substituant dans cette équation les premières valeurs de a, i, c en fonctions de .r, y, 

 z, /•, q, on aura l'équation aux dérivées partielles cherchée: 



/:,£!, i—px —qy _ 

 25 "'" 2^ "^ AB 



qui possède la solution singulière : 



ff , ^ 



2A'^ 2B 



et dont l'intégrale complète est: 



z ^ ax -\- ây -\- (, 

 où les constantes a, 6, c sont liées par la relation : 



zA"^ ïA'^ A.B °' 



On observe en outre que la relation (d) représente justement l'équation du parabo- 

 loïde elliptique: 



2A ' 2B 



, + : 



• ccritec dans les coordonnées du plan. On obtient donc ainsi une manière tout à fait géné- 

 rale d'ïécrire« une surface donnée dans un autre système de coordonnées données. 



En prenant d'autres équations en x, y, 2, a, b, c et en opérant de la même manière, 

 on trouvera autant d'équations aux dérivées partielles du premier ordre qu'on voudra, dont 

 la même équation. 



yi 



zA ' 2B 



' = ^.+ 



sera la solution singulière. 



On voit aussi que la même équation en a, b, c pourra donner telle solution singulière 

 qu'on voudra, suivant la relation, qu'on établira entres les constantes a, b, c. 



Remarque. Il arrive cependant que l'élimination dejretjj/ entre les 

 équations: 



a = (fi, å ^ ip, c=Ö 



où l'on a remplacé z, p z\. q par leurs valeurs en x et y, tirées de la 

 solution singulière donnée, ne conduit pas à une relation, mais à deux 

 relations entre les constantes Æ, b et c. On aura donc deux équations 

 aux dérivées partielles du premier ordre, dont la solution singulière sera 

 la solution singulière donnée et dont l'intégrale complète sera l'équa- 

 tion V (x, y, z, a, b, c) = O, oîi les constantes a, b, c sont liées par les 

 deux relations trouvées. 



