IcSgg- No. 8. SUR UNE CLASSE PARTICUL. D'ÉQUATIONS ETC. I I 



Il ne doit donc pas être sans intérêt d'examiner les cas où une 

 équation aux dérivées partielles soit de la classe ici traitée. 



Considérons d'abord, pour fixer les idées, une équation aux dérivées 

 partielles du premier ordre à trois variables. 



Soit donnée une famille de surfaces 



V [s, X, y, a, b, c) = o, 



qui constitue l'intégrale complète de l'équation aux dérivées partielles 

 du second ordre: 



R.r-^S .s-j-T.i-JrU(s^ — rt) = V, .-.(g) 



oui?, S, T, U et F sont des fonctions de x, y, z, /, q, et où on a posé: 



d Z d Z d^Z 



d^ ' dxdy dy^ 



Si l'on tire les valeurs de a, â, c en fonctions de z, x, y, /, q de 

 l'équation F^o et des équations dérivées: 



9F , aF aF , w 



äi+^ä^=°' ä^+^ä^=°' 



on aura les trois intégrales intermédiaires distinctes: 



a = cp (X, y, z, p, q), b = ip [z, x, y, p, q), c=9 {z, x, y, p, q) 



de l'équation (9), et vice-versa, si l'on a trouvé trois intégrales inter- 

 médiaires distinctes #, ifj, V de l'équation (9), elles sont des fonctions 

 de cp, xp et &. 



le résultat de l'élimination de /j, P^ ■ ■ Pn Gi'^c les (k-|- i) équations: 



a. = y>. (z, X., pß, y = I, 2 ... « + I 



l'équation (a) se transformera donc à cause de K = o et des n dérivées 



dv _ dy 



— + / — - = : = i, 2 . . . n 



ox dz 



en l'équation : 



^ ("1 "2 • • % + 1) = °' 



donc l'intégrale complète de l'équation (a) est donnée par: 



y (z, x^, ..-»-„ «'l •••«„ + 1) = o 

 'P («1 «2 ■ ■ ■ «„ + i) = °- 



