iSgcj. No. g. mathematische Mitteilungen 1S69— 71. 13 



III. 



1. ln R„ betrachte ich 00' Kugeln und alle 00»-» Configurationen 

 c, die dieselben orthogonal schneiden; 00"— ^ c erzeugen immer eine il/„_i 

 deren Haupt-Configurationen des einen Systems sie sind. Die gefundene 

 Mannigfaltigkeit kann zu einem Orthogonalsystem in R„ gehören, und 

 folglich kann die Methode Darboux (Comptes rendus Aug. 1869) darauf 

 angewendet werden. Mich hierauf stützend kann ich z. B. unbegrenzt 

 viele wesentlich verschiedene Orthogonalsysteme angeben, die eine gege- 

 bene Fläche enthalten {oder eine gegebene M„_i mit (n — i) Scharen 

 Haupt - M„^2)- 



2. Die Operation, die ich in den Göttinger Nachrichten von 1871 

 angegeben habe, besitzt die Eigenschaft, auf zwei Mannigfaltigkeiten M„_i 

 und M„_i angewendet, die dieselbe sphärische Abbildung haben, wieder 

 Mannigfaltigkeiten mit derselben sphärischen Abbildung zu geben. Hierbei 

 ist zu bemerken, dass man immer eine Mannigfaltigkeit angeben kann (die 

 Kugel nämlich), die dieselbe sphärische Abbildung hat wie eine gegebene. 



3. Es folgt aus Klein's Theorien, dass, wenn in einem Kugelraume 

 R.^ ein Orthogonalsystem bekannt ist, man immer 00- algebraische Flächen 

 mit algebraischen Krümmungslinien angeben kann, so wie auch 00^ alge- 

 braische Röhrenflächen mit algebraischen Krümmungslinien. Den ersten 

 Teil dieser Theorie habe ich in den Göttinger Nachrichten auf n Dimen- 

 sionen verallgemeinert; der zweite Teil kann auch verallgemeinert werden. 

 Wendet man diese neue Theorie z. B. auf ein Orthogonalsystem in /?,_ 

 an, so findet man auf der einen Seite in R^ oo-' Orthogonalsysteme, die 

 von zwei Scharen von RöhrenOächen in Verbindung mit einer dritten 

 Flächenschar gebildet werden; auf der anderen Seite findet man 00* alge- 

 braische Flächen mit algebraischen Krümmungslinien, von denen keine ein 

 Kreis ist. Hierin liegt die Aufstellung zweier neuen Operationen, von 

 welchen die letzte in gewissem Verstände gleichberechtigt ist mit der von mir 

 früher gegebenen. Weiter gehend kann man unbegrenzt viele Operationen 

 angeben, ivelche sämmtlich dazu dienen, aus einer gegebenen Mannig- 

 faltigkeit in R„, auf welche Darboux' Methode amvendbar ist, Mannig- 

 faltigkeiten in Rn-f abzuleiten, auf tvelche man ebenso Darboux' Operation 

 anwenden kann. 



4. Jede partielle Differentialgleichung : 



^Xn ^x,, 3x„ \ 



- '' dX Sx., >.^X„,J 



