J SOPHUS LIE. M.-N. Kl. 



Der Zweck ilicscr Untersucluingcn ist eigentlich ein doppelter. Einer- 

 seits i)ietet die Theorie der Integralinvarianten an sich ein so grosses 

 Interesse, dass eine aiisnihriiche Darstellung dieser Lehre als zweckmässig, 

 ja notwendig betrachtet werden muss. Anderseits ist wohl zu beachten, 

 dass ilie Theorie der Integralinvarianten im höchsten .Masse dazu geeignet 

 ist, besonders lehrreiche Illustrationen zu meinen allgemeinen Integrations- 

 theorien zu liefern. Seil dem .\nfange der siebziger Jahren habe ich eine 

 Reihe fundamentaler Integralionstheorien entwickelt, in denen ausgedehnte 

 Categorien von Ditl'erentialgleichungen durch rationelle gruppentheoretische 

 Methoden erledigt werden, die mit Lagrangis, Abels' und Galois' Behand- 

 lung der algebraischen Gleichungen durchgreifende Analogien darbieten. 

 Diese meine allgemeinen Untersuchungen, in denen viele specielle Resul- 

 tate meiner Xachfolger anticipirt worden sind, hauen noch nicht die all- 

 gemeine Beachtung gefunden, die sie entschieden verdienen. Es beruht 

 dies wahrsclieinlicherweise in erster Linie darauf, dass meine Theorien fast 

 immer in abstracter Form entwickelt worden sind \ Darum versuche ich 

 jetzt wie auch in früheren Publicationen, lehrreiche und interessante Bei- 

 spiele zu meinen allgemeinen Theorien im Einzelnen duchzuführen. Schliess- 

 lich wird es mir wohl einmal gelingen, der mathematischen Welt klar zu 

 machen, dass gerade die Differentialgleichungen dasjenige Gebiet liefern, 

 innerhalb dessen die capitale Bedeutung meiner Gruppentheorie sich am 

 stärksten geltend macht. Es ist eben ein charakteristiches Merkmal der 

 Gruppentheorie, dass sie einerseits schwierige Probleme erledigt, und dass 

 sie antlerseits genau feststellt, was unter gegebenen J 'oraussetzungen 

 geleistet werden kann. 



X'ielleicht kann es nützlich sein, ehe ich den speciellen Gegenstand 

 dieser Abhandlung in ;\ngriff nehme, auf einige unter meinen allgemeinen 

 Integrationstheorien hinzuweisen. 



Die Integration einer gewöhnlichen DiiVerentialgleichung (// — qf^^ Ord- 

 nung in den Veränderlichen x und / kann bekanntlich immer auf die 

 Erledigung eines y-gliedrigen vollständigen Systems: 



A',/=o, .V»/=o, -V,/=o (I) 



in « unabhängigen X'crändirlirlun n , Xi , . . . x„ zurückgeführt werden, 



• Einige unler mciDcii Schülern liiulcn es zweckinii.'isij;, (liejcniRcn unter meinen Integra- 

 liondhcurien, die von den Jahren 1870—1882 herrühren, einfach ta ignorieren. Es ist 

 aber und bleibt ein geschichtliches FaUttini, ilass nicht allein die Begründung der 

 Theorie drr coritinuicriichcn druppcn, sondern auch die allgemeine Verwerlhung dieser 

 Theorie für Dillcrciiliali'len liumuii von mir luTriilirl. 



