1902. No. I. ÜBER INTEGRALINVARIANTEN UND DIFFERENTIALGL. 3 



und dabei lässt sich immer erreichen, dass die Klammerausdrüci<e 

 A', A'i f — A'j Xif sämthch identisch verschwinden. 



Man weiss andererseits, dass die Integration eines ^-ghedrigen voll- 

 ständigen SA'Stems (i) mit n unabhängigen Veränderlichen x\ a;„, sich 



auf die Erledigung einer gewöhnlichen DifterentialgleichLuig (« — qf'^'^ Ord- 

 nung zurückführen lässt; und dabei liegt es in der Natur der Sache, 

 dass diese Hülfsgleichung {n — qf'^'^ Ordnung im Allgemeinen keine specielle 

 Eigenschaften besitzt, aus denen sich eine Vereinfachung ihrer Integration 

 herleiten Hesse. 



Ganz anders kann die Sache stehen, wenn ein vollständiges System: 



A'i /^ o , A's/^ o , A',/= o {x\,Xi, . . . a*„) 



zu Integration vorgelegt ist, und man von iwrneherein geivisse specielle 

 Eigenschaften dieses vollständigen Systems schon kennt. 



Ganz besonders eingehend habe ich mich* in den Jahren 1872 und 

 1874 mit der Annahme beschäftigt, dass gewisse infinitesimale Transfor- 

 mationen: Yif, Yzf, . . . Ypf, die das vollständige System invariant las- 

 sen, und anderseits gewisse Losungen des vollständigen Systems von vorne- 

 herein bekannt sind. In den oben citierten Arbeiten aus den Jahren 1874 

 unfl 1882 gab ich die definitive Erledigung des eben formulierten Problems, 

 und SU dieser weittragenden Theorie konnten spätere Arbeiten anderer 

 Mathematiker nach der Natur der Sache keine neuen und ivesentlichen 

 Beiträge hinzuführen **. 



Wir können ferner annehmen, dass r unabhängige infinitesimale Trans- 

 formationen Xif, X^f, .... Xrf vorgelegt sind, die Relationen von der 

 Form 



A, X,f- X, A,/= 2« c, Xsf (c.,, = Const.) 



erfüllen, und dass man alle Lösungen des Gleichungs-System 



A'i/=o, A,/=o (2) 



anders ausgesprochen, alle Invarianten U {xi, X2, . . ■ x„) der r-gliedrigen 

 Gruppe A'i/". ... A",/" bestimmen will. Finden sich unter den Gleichungen 

 (2) etwa Ç unabhängige, so bilden diese q Gleichungen 



* Verh. d. Ges. d. Wiss. zu Christiania 1872 und 1S74. Matli. Ann. Bd. IX. Verli. d. 

 Ges. d. Wiss. zu Christiania 1882. Ein Resume dieser Theorien findet sich in Math. 

 Ann. Bd. XXV. 

 ** Meine Nachfolger und Schüler haben einige neue Am'endungen meiner Integrations- 

 theorien geliefert. Es scheint aber ihrer Aufmerksamkeit entgangen zu Mjin, wie mini- 

 mal die verbindende Brücke ist. 



