SOPHUS LIE. M.-N. Kl. 



A'i/=o J,/=o 



ein vollständiges System, dessen n — q Lösungen gerade die gesuchten In\a- 

 rianten liefern. Will man nun die Integration dieses vollständigen System 

 in rationeller, das lieisst, in einfachst möglicher Weise durchführen, so 

 muss man in erster Linie untersuchen, ob infinitesimale Transformationen 

 Yf vorhanden sind, die mit allen r Transformationen A'i/, \rf ver- 

 tauschbar sind. Giebt es keine derartige Transformationen Yf, so kann die 

 Integration des vollständigen System A'i/=o, . . . A',/=o durch ausführ- 

 bare Operationen geleistet werden. Sind dagegen infinitesimale Trans- 

 formationen }/ vorhanden, die mit allen A\/ vertauschbar sind, so bilden 

 alle Yf ihrerseits eine continuirüche endliche oder unendliche Gruppe, und 

 es ist die Zusammensetzung dieser Gruppe Yf, die das vorliegende Inte- 

 gralionsproblem beherrscht'^). 



Es kann vielleicht nützlicii sein, dass wir in aller Kürze daran erin- 

 nern, wie wir dieses Problem auf das zuerst besprochene Problem zurück- 

 geführt haben. Sind X\f, .... AV/ r unabhängige infinitesimale Transfor- 

 mationen der vorgelegten Gruppe, so können wir immer annehmen, dass 

 wir eine kanonische Form dieser Gruppe 



^if=Y^u[x{,....x:,) ^^ 



dXi 



und gleichzeitig die reciproke Gruppe 



der letzten Gruppe kennen. 



Unser Problem deckt sich sodann mit der Reduktion der vorgelegten 

 Gruppe X,f,...Xrf auf ihre kanonische Form und findet daher seinen 

 analytischen Ausdruck in den ;- Gleichungen 



A'»/=AV/ 



oder eigentlich in den r.n Gleichungen, die hervorgehen, wenn für/ nach 

 imd nach x\' ,xt , . . . ■ x„' gesetzt wird. Hiermit erhalten wir ein System 

 partieller Differentialgleichungen 



i'» [x\ , Xt, . . . .X„,X\' . . .x^ , -x-î- ) = o 



axi 



k=\,2,i, .... 



