1902. No. I. ÜBER INTEGRALINVARIANTEN UND DIFFERENTIALGL. 5 



deren allgemeinste Lösungen _yi' , jVa' ,••■ /«' aus einem speciellen Lösungs- 

 system xî,...Xn durch bekannte Gleichungen 



yî = rpi (xi , . . . x„' ,âi, . . .) 



hervorgehen, die eine Gruppe und zwar gerade die kanonische reciproke 

 Gruppe bilden. Nachdem wir aber unser Problem auf diese Gestalt ge- 

 bracht haben, können wir es in bekannter Weise auf die Form einer 

 linearen partiellen Differentialgleichung: A/^o bringen, deren Charak- 

 teristiken von einer einfach transitiven Gruppe transformirt werden, die 

 mit der Gruppe IV/" gleichzusammengesetzt ist. — 

 Bestehen Gleichungen von der Form : 



A',+i/= cfki (x) A'i /"+ -f fkj Xjf 



{çJ^k = ç-if-i,....r) 



sowie die analogen Gleichungen 



A",+i/= 904,' (x) AV/+ . . . + r/n.; A7/ 



so kann man 



rfki (x) = cpü {x) 



setzen und findet hiermit unter allen Umständen ohne Integration gewisse 

 endliche Relationen zwischen den x und x'. 



Reducirt sich insbesondere die reciproke Gruppe Y{ f auf die iden- 

 tische Transformation, so leistet das Gleichungssystem cpui {x) = cpù [x') un- 

 mittelbar die Überführung der Gruppe Xyf Xrf auf ihre kano- 

 nische Form, gleichzeitig also die Erledigung des vorliegenden Problems 3). 



Wir denken uns wiederum, dass ein vollständiges System 



A'i/=o A,/=o 



zur Integration vorgelegt ist und wollen dabei annehmen, dass alle Klammer- 

 ausdrücke Xi Xitf — Xi X,f identisch gleich Null sind. Wir setzen über- 

 dies voraus, dass ein System oder mehrere Systeme partieller Differen- 

 tialgleichungen in den x vorgelegt sind, unter denen jedes einzelne System 

 bei allen X^f invariant bleibt. Man kann sich dann die Frage voriegen, 

 welcher Vorteil aus diesem Umstände für die Integration des vollständigen 

 Systems A''i/=o, . . . Xg/=o gezogen werden kann. In unseren älteren 

 Arbeiten ist dieses Problem jedenfalls implicite erledigt worden, bei dieser 

 Gelegenheit werden wir uns darauf beschränken, einige allgemeine Bemerk- 

 ungen über diese Fragestelluns; zu machen. 



