6 SOPHUS LIE. M-N. Kl. 



Es ist unter allen Umständen möglich zu entscheiden, ob die vorge- 

 legten A'x/ die einzigen infinitesimalen Transformationen sind, welche 

 sämtliche bekannte Systeme von Differentialgleichungen invariant lassen 

 oder nicht*). 



Giebt es keine weitere infinitesimale Transformationen, die unsere 

 Forderungen erfüllen, so findet man alle Lösungen des vollständigen 



Systems A',/=o, .V,/=o ohne Integration^). Giebt es dagegen 



noch weitere infinitesimale Transformationen }/, die alle vorgelegten 

 Systeme partieller Differentialgleichungen invariant lassen, so kann man, 

 selbst wenn die Yf unnbekannt sind, alle gemeinsamen Lösungen der 

 Gleichungen 



A't/=o, Y/ = o 



ohne Integration finden"). 



Wir behalten uns vor, gelegentlich eine \'o]lständigc Erledigung des 

 hier gestreiften Problems zu liefern. 



In dieser Abhandlung denken wir uns, dass man die Invarianten 



u[x\, . . . . x,,) einer vorgelegten r gliedrigen Gruppe X\f, V^/ finden 



will, und dass man zufälligerweise eine oder mehrere Integralinvarianten 

 dieser r gliedrigen Gruppe von vorneherein kennt. Wir fragen, welchen 

 Vortheil man aus diesem Umstände iür die Integration des Gleiclumgs- 

 systems 



A'i/=o, Xrf=o 



ziehen kann. Im ersten Abschnitte dieser Arbeit geben wir die detail- 

 lirte Behandlung eines allerdings speciellen, immerhin aber recht umfang- 

 reichen und jedenfalls sehr instructiven speciellen Falles des soeben formu- 

 lirten Problems, dessen allgemeine Erledigung im zweiten Abschnitte 

 geliefert wird^. 



Offenbar wäre es möglich, noch viel allgemeinere Probleme zu stellen, 

 flie in ganz ähnlicher Weise von meinen allgemeinen Principien beherrscht 

 werden. Sucht man z. B. die Invarianten u(x\, . . . t„) einer vorgelegten 

 endlichen continuirlichen Gruppe, so kann man annehmen, dass gewisse 

 derartige Invarianten schon vorliegen, dass andererseits gewisse infini- 

 tesimale Transformationen )'/ bekannt sind, die unsere Gruppe in sich 

 transformieren, und dass endlich gewisse Systeme von Differentialgleichungen 

 und gewisse Integrale vorliegen, die bei der Gruppe X\f, .... Xrf inva- 

 riant sind. Meine allgemeinen Theorien gestatten in jedem einzelnen 

 Falle genau festzustellen, welchen Vortheil man aus den vorliegenden 

 Umständen für die Bestimmung aller Invarianten ii(xi,...x„) der vorge- 

 legten Gruppe ziehen kann. 



