SOPHUS LIE. M.-N. Kl. 



Kapitel I. 



Vertauschbare infinitesimale Transformationen mit einer 

 zweidimensionalen Integralinvariante. 



In diesem Kapitel stellen wir ein allgemeines Integrationsproblem, bei 

 dessen Behandlung eine Reihe wesentlich verschiedener Fälle eintreten 

 können. Das betreffende Problem bezieht sich auf ein Integral 



I ip dxi dxt 



das über eine zweidimensionale Punkt-Mannigfaltigkeit erstreckt wird und 

 daher von uns kurz weg als ein zweidimensionales Integral bezeichnet 

 wird. 



Froblem : Im vierfachen Räume x\ Xt Xz x^ liegen zwei vertausch- 

 bare infinitesimale Transformationen 



mit verschiedenen Bahncurven vor. Man kennt von vorneherein eine 

 zweidimensionale Integralinvariante erster Ordnung der beiden Trans- 

 formationen X\f und Xif nämlich das Integral 



{ , , ^Xi dXi dXi dXi\ 



dessen Argument ip in den fünf Grössen 



3^ 3X4 9^ 9^4 3^ 3X4 3X8 3£4 



3xi' 9xr 9x8* 3xî' 9xi 9x2 9x2 9xi 



linear ist. Es soll das Vorhandsein dieser Integralinvariante bei der 

 Integration des vollständigen Systems 



