1902. No. I. ÜBER INTEGRALINVARIANTEN UND DIFFERENTIALGL. 9 



A'i/ = o, Xtf=o 



SO viel wie möglich veriverthet werde?i. 

 Da die Grösse 



sechs Coefficienten A, B, . . . F enthält, die ganz beliebige^) Funktionen von 

 x\,Xi,Xi,Xi sein können, so umfasst die gestellte Aufgabe eine aus- 

 gedehnte Catégorie von Problemen. Wir behaupten und werden zunächst 

 beweisen, dass alle diese Probleme in dem Sinne eine natürliche Familie 

 bilden, dass der Inbegriff dieser Probleme bei jeder Coordinatentrans- 

 formation des Raumes x\ . . .X\ invariant bleibt. 



Führen wir in das Integral j ip dxi dx2 neue Veränderliche xi , . . . xt 

 vermöge der Substitution 



xt =Fk{xi . . .Xi) (/[• = I , . . . 4) 



ein, so wird die Beziehung zwischen dem transformierten Integral : 



J ip' dx\ dx{ 



und dem ursprünglichen Integral durch die Gleichung 



festgestellt, und dabei ist^) 



\^X\ ) dXi dX3 ' dXi dXi ' dxi 



fdF, \_ffi_i_^jPj dXi djù 3^ 

 \dX2 ) dX2 ^Xa ' dX2 dXi ' dXi 



(i= 1,2) 

 Es bestehen die Gleichungen 



^^ ' ^^'»' j • I ^^3' , , , , a^Cé' j , 1 '^x\ j , 



"^3 = iz — -, dx\ -\- - — ; dx2 , dXi = - — , dx\ + - — ; dX2 



eXi dX2 dXi 2X2 



sowie die aequivalenten: 



dF, = '^,dF^ + f^dF2 , dF, = f^dFr+'^,dF2, 



eXi dX2 dXi dX2 



und aus ihnen erhalten wir in bekannter Weise die Relationen 1°). 



