SOPHUS LIE. M.-N. Kl. 



Wir halten es für richtig, auf den hcgrifTlichcn Inlialt des eben auf- 

 gestellten Satzes näher einzugehen. 



Im vierfachen Räume Xi...Xi giebt es oo'' Linienelemente, X\,Xi, 



Xi,X\, dx\: dxf. dxi-.dxi, ferner oo' Elemente x\,Xi, Xt,Xi, -— , - — , 



dX\ cXz 



—^ dreidimensionaler Mannigfaltigkeiten: 0:4 = rn {.n, 2:2, ^s) und endlich 



OXi 



008 Elemente x^,x~,x„,x, -r-^ , ~-, ^-^ , r-^ zweidimensionaler Man- 

 1. 2. 3. 4 9^^. 2x^' ax, ' dx^ 



nigfaltigkeiten x^= M{x^,x^), x^ ^ N'(x^,x^). 



Betrachten wir nun alle Elemente eindimensionaler, zweidimensionaler 

 und dreidimensionaler Mannigfaltigkeiten, die durch einen bestimmten 

 Punkt x^,X2,x^,x^ hindurchgehen, so müssen wir sagen, 



dass durch einen Punkt x^ . . . x^ des vierfachen Rames oo^ Linien- 

 elemente dx^ : dx^ : dx^ : dx^ gehen, die ihrerseits eine dreidimensionale 

 ebene Mannigfaltigkeit M3 bilden, 



3a; 

 dass die 00* durch den gewählten Pimkt gehenden Elemente r— ^, 



-— ^, -— * , r-^ zweidimensionaler Mannigfaltigkeiten x^ = Mix,, x,), 

 Sx^ aar, ' axj ö ö 3^1' 21' 



x^ ^ N(x^, x^) im dreidimensionalen ebenen Räume M^ die Rolle der 



Geraden spielen, 



dass endlich die oc ^ durch den gewählten Punkt r» gehenden Elemente 



9x "ex dx 



— t, ~, ~ dreidimensionaler Mannigfaltigkeiten x^ — rp (a;,, x^, x^) = o 



dX t CX n dX 9 



im dreifachem Räume M.^ die Rolle der Ebenen spielen. 



Im dreifachen Räume }A^ müssen wir daher die Grössen dx^, dx^, 

 dx^,dx^ als homogene Pimktcoordinaten, ihre Verhältnisse dementsprechend 

 als absolute Punktcoordinaten auffassen. Wir müssen ferner die drei 



Ableitungen r— ^, -— *-, -— i als Ebenencoordinaten und endlich die 'jier 

 3x, öaTj 0X3 



Ableitungen ^, -—5, ;r-*-, ~-t als Liniencoordinaten des dreifachen 

 3a;, 3a;2 3x, ax^ 



Raumes M^ betrachten '2). Dabei können wir nach dem Vorgänge von 

 Plücker die Determinante 



3a; 3 3a;^ 3a; 3 'èx^ 

 3x, 3a;2 3^2 83;, 



als fünfte Liiiicncoordinatc des Raumes .W., einführen. 



