1903. No. I. ÜBER INTEGRALINVARIANTEN UND DIFFERENTIALGL. 13 



Bei dieser Auffassung sagt unser Satz i, dass die fünf Liniencoor- 

 dinaten des Raumes J/g 



dx^ dx^ dx^ 3^4 dXg ^X^ dx^ dx^ 



dx^ ' 9^2 ' 33^1 ' 3rr2 ' Sx^ dx^ '^x^ dx^ 



bei jeder Punkttransformation des i'ierfaciien Raumes x^ . . . x^ projektiv 

 transformirt werden. Und das liesse sicli a priori ohne Recl:nung aus der 

 bekannten Thatsaciie herleiten, dass jede Punkttransformation des n fachen 

 Raumes im Infinitesimalen projectiv ist^"^). 



Wenn wir auch befürchten müssen, dass die eben vorgetragenen 

 Betrachtungen nur für Geometer, die mit den Elementen der Plückerschen 

 Liniengeometrie vertraut sind, leiciit verstandlich sind, so haben wir sie 

 doch nicht zurückhalten wollen. Es ist eben unsere Überzeugung, 

 dass es richtig ist, die principiellen Fortschritte der Geometrie für die 

 Analysis zu verwerthen. In der That gewinnt die ganze Theorie, die 

 wir in dieser Abhandlung darstellen, an Durchsichtigkeit und Einfachkeit, 

 wenn wir die Grundlagen der Plückerschen Liniengeometrie als bekannt 

 voraussetzen. 



Indem wir nun das oben gestellte Problem in Angriff nehmen, finden 

 wir es zweckmässig, zunächst die allgemeinste 1 r ans f or mation 



Xk =Fk{Xi . . . x^) (k=i,. ..4) 



zu suchen, die sowohl die Form der beiden infinitesimalen Transforma- 

 tionen X^f und A'2/, wie die Foj-m der bekamiten Integralinvariante 

 \ ip dx^ dx^ bewahrt. Die endlichen Transformationen der zweigliedrigen 

 Gruppe A'j f, X^f besitzen oflenbar diese Eigenschaft; unter Umständen 

 giebt es aber noch weitere Transformationen, die unsere Forderungen 

 erfüllen. Es liegt in der Natur der Sache, dass der Inbegriff aller Trans- 

 formationen Xk = Fjt{Xi . ■ X^), bei denen die Form von X^f, X^f und 

 J \p d.i\ d.i\ bewahrt wird ^% eine Gruppe G bildet. Wir werden sehen, dass 

 diese Gruppe G das ursprünglich gestellte Problem beherrscht und dass 

 z. B. die Integration des vollständigen Systems A'j/=:o, X^f=^o nur 

 Differentiationsprocesse verlangt, wenn die Gruppe G keine anderen infini- 

 tesimalen Transformationen als A', /und A'j/ enthält. 



Es wird sich zeigen, dass die Gruppe G viele wesentlich verschiedene 

 Formen haben kann. Während sie unter Umständen, ja im Allgemeinen 

 nur die beiden infinitesimalen Transformationen A',/und A^2/ ""^'^sst, 

 kann sie in speciellen Fällen sogar eine unendliche Gruppe darstellen. 

 Die Gruppe G vertauscht eo ipso die oo 2 charackteristischen Mannigfaltig- 

 keiten u = a, v = b des vollständigen Systems A'j/=o, A'2/=o unter 



