l8 SOPHUS LIE. M.-N. Kl. 



(lie neuen Veränderlichen 



x, ==A'(x,/), J, = )-(a-,j), z^=zä(x,)'), i,=iV(x,y) (8) 



einführen, so ist es unmittelbar klar, dass die beiden infinitesimalen Trans- 

 formationen ihre Form bewahren 'o). Hieraus lässt sich ohne Rechnung der 

 Schluss ziehen, dass auch das obenstehende Integral seine allgemeine Form 

 bewahrt, wenn auch seine Coefficienten A, B, C, 31, 33 eine neue Gestalt 

 erhalten. 



Schon früher (S. 1 1) haben wir ja gesehen, dass jedes über die Man- 

 nigfaltigkeit z = Z{x,y), i = ^(x,y) erstrecktes Integral Ixpdjdy, dessen 

 Argument \p in den Grössen p, q, p, q, (pi\ — \>q) linear ist, bei jeder 

 Punkttransformation 



.r,=.L(.r,y,z,i), y,=M(..), z,^N{....), 5, =/>(....) 



des vierfachen Raumes ./•, y, z, 5 seine allgemeine Form bewahrt. Dies 

 bleibt eo ipso insbesondere auch dann wahr, wenn die Coefficienten A, B, 

 31, iV C D (lor Grösse 



Ap + Bq 3Ip + gq , H/q-pg) ■ ^ 



nur von ./• imd y abhängen, und andererseits die Variabeländerung die 

 specielle Form (8) besitzt. In diesem besonderen Falle lässt sich überdies 

 mit Leichtigkeit erkennen, dass auch im transformierten Integral J ip'J.i\ dy\ 

 die Coefficienten .(4,, 5,, 31,, SJ,, dT, und Z>, der Grösse 



^._ ^i/>. +^1^1 1 3Ip, 4-^qi 1 C^{Px^^-^^q^) , j 



nur von .f, und y^ abhängen. Dies folgt unmittelbar daraus, dass die 

 Transformation 



•'l = A' (.'■,/), >', = )'(,,■, j), z,==z.a{';y), 5, =5F(.r,j»') 

 eben weil sie sowohl 



.V,/=.|, wie XJ=,%^ 



