1902. No. I. ÜBER INTEGRALINVARIANTEN UND DIFFERENTIALGL. 19 



invariant lässt, auch jedes bei X^f und X^f invariante Integral in ein 

 Integra! überfüliren muss, das ebenfalls bei diesen beiden Transformationen 

 invariant bleibt. Das transformirte Integral: ^^j dx^dy^, dessen Argu- 

 ment \\i jedenfalls in /j, q^, p^, qj und p^<\ — p^^j linear ist, bleibt 

 aber nur dann bei 



3ä, 



und „ g^ 



invariant, wenn die transformirten Coefficientèn A^, 5,, 3lj, 33j und (7, 

 nur von x^ und y^ abhängen. 



Indem wir diese Thatsache analytisch bestätigen, werden wir mehrere 

 weitergehende Resultate erhalten, die sich übrigens ebenfalls ohne Rech- 

 nung durch synthetische Betrachtungen herleiten Hessen. 



Wir tragen die Werthe x^=X^x,y) , .... ii=i. V{x,y) in die 

 Gleichung 



dzi —p^dx^ — <l\d.y\ ^o 



ein und erhalten hierdurch eine in den Differentialen dx, dy lineare Re- 

 lation 



Q {pdx -\- qdy) -\- z {ß^ dx -\- S y dy) = 

 =p, (X, dx + Z, dy) + ç, (F, dx + Vy dy) , 

 die sich in die beiden Gleichungen 



S2p = X^p^ + Y^ç^—2ß^, 



äq=XyP^ -j-Yyq^- Säy 



zerlegt. Dividieren wir sodann links und rechts mit der Grösse 



z^=zS , 

 so erhalten wir zunächst die Formeln: 



t = x^4-Y ?± — ^ 

 z ^ '' z^ ' " Zj J^ ' 



/ 



" ^r, " z, 2 



