SOPHUS LIE. 



M.-\. Kl. 



Indem wir jetzt weiter gehen, wollen wir zuerst ausdrücklich voraus- 

 setzen, dass die Constante C von Null verschieden ist; sodann erledigen 

 wir den Fall C=o, und schliesslich machen wir die Annahme, dass (' 

 keine Constante, sondern eine wirkliche Funktion von x und y darstellt. 



C = Const. + 0. 



Ist C constant und von Null verschieden, so sind die Grössen | und 

 ri bestimmt durch die drei Gleichungen: 



w (|x + J?y) + Wx ? + Wj,);/ = o 

 ? (1^ + >?!/)+ e^ I + Cl/'? = o 

 ^ (|^ + »?!/) + '^.r ? + ffi/i? = o J 

 die io den Grössen 



linear und homogen sind. Ist daher die Determinante 



a Ox Oy 



nicht identisch Null, so sind ^ und tj alle beide gleich Null, und dann 

 zeigen die vier ersten Gleichungen (6), die jetzt die Form 



fiy=o, iix = o, ax = o, Oy = o 



annehmen, dass a und (i Constante sind und dass U/ daher die Form 



Const. ^ - + Const, j — 



besitzt. In diesem Falle enthält die gesuchte Gruppe G keine anderen 

 unabhängigen infinitesimalen Transformalionen als 



