SOPHUS LIE. M.-N. Kl. 



Theorem: Bleibt das über zweidimensionale Mannigfaltigkeiten: 

 z= Z{x,y), •î = 3(^'-'') erstreckte Integral 



[ [ap + ßg + yp + <îii + f (/il — vq) + y J dx dy 



invariant hri ilen beiden infinitesimalen Transformationen 



und haben die Coefficienten a , ß , . . . rp in Folge dessen die Form 

 _A(x,y) B{x,y) %{x^ ö = '^:A , = ^Zi^) ,n=n(x vV 



ist ferner 





die allgemeinste infinitesimale Transformation, die X\f, X%f und das 

 obenstellende Integral invariant lässt, und ist endlich die Grösse C eine 

 von Null verschiedene Const atite, so sind i(x,y) und i][x,y) Funktionen 

 von x und y, die durch die Gleichungen 



{CD + 915 - ^iB) (l. + rjy) + [CD -\-%B— A^, . S, + {CD + %B - A^), .rj=o 



(A. + ß,) (f. + rjy) + {A. -f Byl .^+{A, + By\, .rj = o 



(31. + föy) (I. + ,;,) + (3U + ».). ■ ^ + (2t. + 33,), . »? = o 



bestimmt werden. Die Incrcmente Ç und -9- besitzen die Form 



l = z.a{x,y), & = i.ß{x,y) 



und dabei werden a und ß durch Quadratur der immer integrablen 

 Gleichungen 



- Cßy = At]y - B^y + ^A, + ^Ay , 



Cß, = -A7}, + ß^,-\-^B, + t]By, 

 Ca, = - SBg, + 31,, + ^31. -I- r)%y , 

 - Cox = 5B5x — 3Ii?. + s^SBx + v^y 



