1902. No. I. ÜBER INTEGRALINVARIANTEN UND DIFFERENTIALGL. 5 t 



Fall IL [Seite 25]. 

 Der zweite Fall ist dadurch charakterisirt, dass C gleich einer nicht 

 verschwindenden Constante ist, und dass die dreireihige Determinante ö, 

 nicht aber ihre sammtlichen zweireihigen Unterdeterminanten gleich Null 

 sind. In diesem Falle hat die verkürzte Gruppe <7/ die Form^ß) 



und ist somit intransitiv. Wir finden daher die Invariante x ohne Inte- 

 gration, ja ohne Quadratur. Setzt man sodann diese Invariante gleich 

 einer willkürlichen Constante c, so zerlegt die hervorgehende Gleichung 



den vierdimensionalen Raum x\, x%, xz, Xi in oo^ dreidimerioionale Räume, 

 deren jeder 00 1 charakteristische Mannigfaltigkeiten des vollständigen 

 Systems: Xi/=o, X2/=o enthält. 



Es bleibt jetzt nur noch übrig in jedem Räume x = c die oc ' charak- 

 teristischen Mannigfaltigkeiten dieses Raumes zu finden. Zu diesem Zwecke 

 beobachten wir, dass jede infinitesimale Transformation 



f//=M-)|+^(JA^^,.)^|+-iQz^,.), 



3/ 



die 00 1 charakteristischen Mannigfaltigkeiten eines solches Raumes x^c 

 unter einander vertauscht. Und zwar sehen wir, dass alle Uf die 00 ^ 

 charakteristischen Mannigfaltigkeiten eines Raumes x = c 'm genau der- 

 selben Weise transformiren, dabei vorausgesetzt, dass wir diese 00 ^ 

 Mannigfaltigkeiten als ein eindimensionales Gebiet auffassen. Hieraus folgt 

 dass wir durch eine Quadratur einen Integrabilitätsfaktor desjenigen voll- 

 ständigens Systems aufstellen können, das die 00 1 gesuchten charak- 

 teristischen Mannigfaltigkeiten definirt. Eine zweite Quadratur liefert diese 

 Mannigfaltigkeiten selbst^''). 



Im vorliegenden Falle verlangt daher die Integration des vollstän- 

 digen Systems X\f=o, Xif=o nur Differentiations- und Eliminations- 

 operationen und sodann zwei successive Quadraturen. Wir bezeichnen 

 diese Operationen mit 



(o), o, o. 



